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Démonstrat° par récurrence - Term. S



  1. #1
    Grunk

    Post Démonstrat° par récurrence - Term. S


    ------

    Bonjour à tous !

    Je fais spécialité math, et je suis un peu perdu au niveau des démonstrations...Notre prof nous a donné des exercices à faire et je voudrais un peu d'aide svp, sachant que je n'ai pas très bien compris :

    Exercice 1 - Utilisation de la récurrence
    a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.

    b) Démontrer par récurrence quie pour tout entier naturel non nul n,
    =

    Exercice 2 - Démonstration par disjonction
    a et b désignent des entiers naturels.
    (P) désignent la proposition "ab(a^2-b^2) est divisible par 3"

    2.1 Cas où a ou b est multiple de 3.
    Démontrer que la propriété (P) est vraie.

    2.2 Cas où a et b ne sont pas multiples de 3.

    2.2.1 Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.

    2.2.2 Démontrer que a²-b² est divisible par 3 dans chacun des cas :
    a=3k+1 ; b=3k'+1
    a=3k+1 ; b=3k'-1
    a=3k-1 ; b=3k'+1
    a=3k-1 ; b=3k'-1

    2.2.3 En déduire que la proposition (P) est vraie.

    Ce que j'ai fait :

    J'ai réussi à faire le
    - 1)b)
    - 2)2.1)
    - 2)2.2)2.2.2)

    1)a) J'ai montré pour n=0 que n(n+1)(2n+1) est multiple de 6 mais je ne sais vraiment pas comment faire pour P(n+1) :
    Je sais que (n+1)(n+2)(n+3) est multiple de 6.
    Je note P(n) = n(n+1)(2n+1)
    Donc P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)

    Pour le 1)b) j'ai montré P vraie pour n = 1 et ensuite pour P(n+1).

    Pour 2)2.1) j'ai distingué 3 cas:
    1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
    2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
    3è cas : a = 3k ; b=3k'
    A chaque fois j'ai pu factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.

    Pour 2)2.2)2.2.2) J'ai remplacé a et b par les valeurs donner, et à chaque fois j'ai pu ausi factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.

    Pour 2)2.2)2.2.3) Il faut que je refais a x b avec les différents cas proposés puis en déduire que c'est vraie car le produit de deux nombres divisibles par 3 donne un nombre divisible par 3?


    Merci de m'aider !

    -----
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  2. Publicité
  3. #2
    Odie

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Bonjour,

    Pour le 1.a, regarde ce que vaut P(n+1)-P(n) et tu pourras en déduire la divisibilité de P(n+1) par 6.

    Pour le 2.2.3, la démonstration de {a²-b² divisible par 3} suffit pour conclure.

  4. #3
    Moma

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Salut,

    juste une petite remarque pour le plaisir : le 1 b) montre le 1 a). En effet, la somme des n premires carrés est sûrement entière et donc 6|n(n+1)(2n+1) .


    Amicalement
    Moma

  5. #4
    evariste_galois

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Citation Envoyé par Grunk
    Exercice 1 - Utilisation de la récurrence
    a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.
    Voici une démonstration qui ne fait pas appel à une récurrence:

    Montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6 revient à montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et par 3 . La divisibilité par 2 est évidente puisque soit n est pair et alors n(n+1)(2n+1) est bien divisible par 2, soit n est impair et alors n+1 est pair, et donc n(n+1)(2n+1) est divisible par 2.

    Pour la divisibilité par 3, il faut se rappeler que parmi trois entiers consécutifs n, n+1 et n+2, se trouve un entier divisible par 3. Si n est divisible par 3, c'est ok, de même si n+1 est divisible par 3. Reste à prouver que si ni n, ni n+1 ne sont divisibles par 3, alors 2n+1 est divisible par 3.
    En effet, si n n'est pas divisible par 3, il en est de même de 2n. De même, si n+1 n'est pas divisible par 3, 2(n+1)=2n+2 n'est pas divisible par 3.
    Or, on sait que parmi 2n, 2n+1 et 2n+2 se trouve un multiple de 3, et c'est forcément 2n+1.
    "Au train où vont les choses, les choses où vont les trains ne seront plus des gares."

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Romain-des-Bois

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Citation Envoyé par evariste_galois
    Voici une démonstration qui ne fait pas appel à une récurrence:

    Montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6 revient à montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et par 3 . La divisibilité par 2 est évidente puisque soit n est pair et alors n(n+1)(2n+1) est bien divisible par 2, soit n est impair et alors n+1 est pair, et donc n(n+1)(2n+1) est divisible par 2.

    Pour la divisibilité par 3, il faut se rappeler que parmi trois entiers consécutifs n, n+1 et n+2, se trouve un entier divisible par 3. Si n est divisible par 3, c'est ok, de même si n+1 est divisible par 3. Reste à prouver que si ni n, ni n+1 ne sont divisibles par 3, alors 2n+1 est divisible par 3.
    En effet, si n n'est pas divisible par 3, il en est de même de 2n. De même, si n+1 n'est pas divisible par 3, 2(n+1)=2n+2 n'est pas divisible par 3.
    Or, on sait que parmi 2n, 2n+1 et 2n+2 se trouve un multiple de 3, et c'est forcément 2n+1.
    elle est vraiment bien cette démo, je ne la connaissais pas. Elle a le mérite d'être dans l'ordre de ce qui vient à l'homme...

    Je me fais comprendre ?

    l'homme ne se dit pas : tiens, c'est divisible par 6, je vais le démontrer par récurrence.
    Il se dit plutôt : tiens c'est divisible par 2, puis, tiens c'est divisible par 3, donc par 6.

  8. #6
    Grunk

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Merci pour vos réponses mais...

    Pour le 1)a) Je trouve ceci :

    P(n) = n(n+1)(2n+1)
    P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)

    J’étudie la différence P(n+1)-P(n) :

    P(n+1)-P(n) = (n+1)(n+2)(2n+3) – [n(n+1)(2n+1)]
    = (n²+3n+2)(2n+3) – [(n²+n)(2n+1)]
    = (2n3 +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) – [(2n3 + n² + 2n² + n)]
    = 2n3 + 9n² + 13n + 6 – (2n3 + 3n² + n)
    = 2n3 + 9n² + 13 n + 6 – 2n3 -3n² + n
    = 6n² - 12 n + 6
    = 6[n² - 6n + 1)

    P(n+1)-P(n) € N, et est bien divisible par 6.
    La propriété est donc bien héréditaire.
    On a donc pour tout n € N, n(n+1)(2n+1) multiple de 6.

    Mais en fait, je ne sais pas vraiment pourquoi on a étudié la différence P(n+1)-P(n).

    Pour la 2)2.1, je n'ai étudi que 3 cas,
    1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
    2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
    3è cas : a = 3k ; b=3k'
    mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autre? :
    a=3k ; b=3k'-1 ?
    a=3k-1 ; b=3k' ?

    Pour la 2)2.2)2.2.1),
    Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
    Comment dois je l'expliquer?

    Donc, pour la 2)2.2)2.2.3), je dois simplement dire que puisque a²-b² est divisible par 3, donc ab(a²-b²) est aussi divisible par 3. (Mais il n'y a pas de "car"... ?)

    Merci beaucoup pour vos réponses !
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  10. #7
    Grunk

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Aidez moi svp !
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  11. #8
    Duke Alchemist

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Bonjour.
    Quelques petites rectifications pour t'aider à comprendre pourquoi tu calcules Pn+1-Pn...
    Citation Envoyé par Grunk
    Pn+1-Pn = (n+1)(n+2)(2n+3) – [n(n+1)(2n+1)]
    = (n²+3n+2)(2n+3) – [(n²+n)(2n+1)]
    = (2n3 +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) – [(2n3 + n² + 2n² + n)]
    = 2n3 + 9n² + 13n + 6 – (2n3 + 3n² + n)
    = 2n3 + 9n² + 13 n + 6 – 2n3 - 3n² - n
    Jusque là, ça allait !... mais la suite
    = 6n² + 12 n + 6
    = 6(n² + 2n + 1)
    =6(n+1)²

    Donc : Pn+1 = Pn + 6(n+1)²
    Et tu peux ainsi déduire tous les Pk. On a : Pk = P0 + 6[1²+2²+3²+...+k²]
    (J'ai changé volontairement d'indice mais tu peux prendre n aussi et... oh !!??... Ne serait-ce pas un truc qui ressemble à ce qui est demandé ??! )

    Duke.

  12. #9
    Grunk

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Effectivement !

    Pour la 2)2.1, je n'ai étudié que 3 cas,
    1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
    2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
    3è cas : a = 3k ; b=3k'
    mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autre? :
    a=3k ; b=3k'-1 ?
    a=3k-1 ; b=3k' ?

    Pour la 2)2.2)2.2.1),
    Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
    Comment dois je l'expliquer?
    Est ce que dire que : "tout nombre multiple de 3 s'écrit 3k avec k € Z, donc, un nombre non multiple de 3 s'écrit forcément 3k+1 ou 3k-1. est suffisant?"

    Merci beaucoup pour vos réponses !
    Le bon sens est la chose du monde la mieux partagée

  13. #10
    leg

    Re : Démonstrat° par récurrence - Term. S

    Citation Envoyé par Grunk
    .
    Pour 2)2.2)2.2.3) Il faut que je refais a x b avec les différents cas proposés puis en déduire que c'est vraie car le produit de deux nombres divisibles par 3 donne un nombre divisible par 3?
    oui, m3 * m3 = 0(9)= 0(3)

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