Démonstrat° par récurrence - Term. S

[invitebd97d45d]

Bonjour à tous !

Je fais spécialité math, et je suis un peu perdu au niveau des démonstrations...Notre prof nous a donné des exercices à faire et je voudrais un peu d'aide svp, sachant que je n'ai pas très bien compris :

Exercice 1 - Utilisation de la récurrence
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.

b) Démontrer par récurrence quie pour tout entier naturel non nul n,
=

Exercice 2 - Démonstration par disjonction
a et b désignent des entiers naturels.
(P) désignent la proposition "ab(a^2-b^2) est divisible par 3"

2.1 Cas où a ou b est multiple de 3.
Démontrer que la propriété (P) est vraie.

2.2 Cas où a et b ne sont pas multiples de 3.
2.2.1 Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.

2.2.2 Démontrer que a²-b² est divisible par 3 dans chacun des cas :
a=3k+1 ; b=3k'+1
a=3k+1 ; b=3k'-1
a=3k-1 ; b=3k'+1
a=3k-1 ; b=3k'-1

2.2.3 En déduire que la proposition (P) est vraie.

Ce que j'ai fait :

J'ai réussi à faire le
- 1)b)
- 2)2.1)
- 2)2.2)2.2.2)

1)a) J'ai montré pour n=0 que n(n+1)(2n+1) est multiple de 6 mais je ne sais vraiment pas comment faire pour P(n+1) :
Je sais que (n+1)(n+2)(n+3) est multiple de 6.
Je note P(n) = n(n+1)(2n+1)
Donc P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)

Pour le 1)b) j'ai montré P vraie pour n = 1 et ensuite pour P(n+1).

Pour 2)2.1) j'ai distingué 3 cas:
1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
3è cas : a = 3k ; b=3k'
A chaque fois j'ai pu factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.

Pour 2)2.2)2.2.2) J'ai remplacé a et b par les valeurs donner, et à chaque fois j'ai pu ausi factoriser par 3 et conclure que c'était divisible par 3.

Pour 2)2.2)2.2.3) Il faut que je refais a x b avec les différents cas proposés puis en déduire que c'est vraie car le produit de deux nombres divisibles par 3 donne un nombre divisible par 3?


Merci de m'aider !
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[inviteb85b19ce]

Bonjour,

Pour le 1.a, regarde ce que vaut P(n+1)-P(n) et tu pourras en déduire la divisibilité de P(n+1) par 6.

Pour le 2.2.3, la démonstration de {a²-b² divisible par 3} suffit pour conclure.

[invitead065b7f]

Salut,

juste une petite remarque pour le plaisir : le 1 b) montre le 1 a). En effet, la somme des n premires carrés est sûrement entière et donc 6|n(n+1)(2n+1) .


Amicalement
Moma

[invitea77054e9]

Exercice 1 - Utilisation de la récurrence
a) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, n(n+1)(2n+1) est multiple de 6.

Voici une démonstration qui ne fait pas appel à une récurrence:

Montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6 revient à montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et par 3 . La divisibilité par 2 est évidente puisque soit n est pair et alors n(n+1)(2n+1) est bien divisible par 2, soit n est impair et alors n+1 est pair, et donc n(n+1)(2n+1) est divisible par 2.

Pour la divisibilité par 3, il faut se rappeler que parmi trois entiers consécutifs n, n+1 et n+2, se trouve un entier divisible par 3. Si n est divisible par 3, c'est ok, de même si n+1 est divisible par 3. Reste à prouver que si ni n, ni n+1 ne sont divisibles par 3, alors 2n+1 est divisible par 3.
En effet, si n n'est pas divisible par 3, il en est de même de 2n. De même, si n+1 n'est pas divisible par 3, 2(n+1)=2n+2 n'est pas divisible par 3.
Or, on sait que parmi 2n, 2n+1 et 2n+2 se trouve un multiple de 3, et c'est forcément 2n+1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaeeb6d8b]

Voici une démonstration qui ne fait pas appel à une récurrence:

Montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 6 revient à montrer que n(n+1)(2n+1) est divisible par 2 et par 3 . La divisibilité par 2 est évidente puisque soit n est pair et alors n(n+1)(2n+1) est bien divisible par 2, soit n est impair et alors n+1 est pair, et donc n(n+1)(2n+1) est divisible par 2.

Pour la divisibilité par 3, il faut se rappeler que parmi trois entiers consécutifs n, n+1 et n+2, se trouve un entier divisible par 3. Si n est divisible par 3, c'est ok, de même si n+1 est divisible par 3. Reste à prouver que si ni n, ni n+1 ne sont divisibles par 3, alors 2n+1 est divisible par 3.
En effet, si n n'est pas divisible par 3, il en est de même de 2n. De même, si n+1 n'est pas divisible par 3, 2(n+1)=2n+2 n'est pas divisible par 3.
Or, on sait que parmi 2n, 2n+1 et 2n+2 se trouve un multiple de 3, et c'est forcément 2n+1.

elle est vraiment bien cette démo, je ne la connaissais pas. Elle a le mérite d'être dans l'ordre de ce qui vient à l'homme...

Je me fais comprendre ?

l'homme ne se dit pas : tiens, c'est divisible par 6, je vais le démontrer par récurrence.
Il se dit plutôt : tiens c'est divisible par 2, puis, tiens c'est divisible par 3, donc par 6.

[invitebd97d45d]

Merci pour vos réponses mais...

Pour le 1)a) Je trouve ceci :

P(n) = n(n+1)(2n+1)
P(n+1) = (n+1)(n+2)(2n+3)

J’étudie la différence P(n+1)-P(n) :

P(n+1)-P(n) = (n+1)(n+2)(2n+3) – [n(n+1)(2n+1)]
= (n²+3n+2)(2n+3) – [(n²+n)(2n+1)]
= (2n3 +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) – [(2n3 + n² + 2n² + n)]
= 2n3 + 9n² + 13n + 6 – (2n3 + 3n² + n)
= 2n3 + 9n² + 13 n + 6 – 2n3 -3n² + n
= 6n² - 12 n + 6
= 6[n² - 6n + 1)

P(n+1)-P(n) € N, et est bien divisible par 6.
La propriété est donc bien héréditaire.
On a donc pour tout n € N, n(n+1)(2n+1) multiple de 6.

Mais en fait, je ne sais pas vraiment pourquoi on a étudié la différence P(n+1)-P(n).

Pour la 2)2.1, je n'ai étudi que 3 cas,
1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
3è cas : a = 3k ; b=3k'
mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autre? :
a=3k ; b=3k'-1 ?
a=3k-1 ; b=3k' ?

Pour la 2)2.2)2.2.1),
Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
Comment dois je l'expliquer?

Donc, pour la 2)2.2)2.2.3), je dois simplement dire que puisque a²-b² est divisible par 3, donc ab(a²-b²) est aussi divisible par 3. (Mais il n'y a pas de "car"... ?)

Merci beaucoup pour vos réponses !

[invitebd97d45d]

Aidez moi svp !

[Duke Alchemist]

Bonjour.
Quelques petites rectifications pour t'aider à comprendre pourquoi tu calcules P_n+1-P_n...

P_n+1-P_n = (n+1)(n+2)(2n+3) – [n(n+1)(2n+1)]
= (n²+3n+2)(2n+3) – [(n²+n)(2n+1)]
= (2n³ +3n² + 6n² + 9n + 4n + 6) – [(2n³ + n² + 2n² + n)]
= 2n³ + 9n² + 13n + 6 – (2n³ + 3n² + n)
= 2n³ + 9n² + 13 n + 6 – 2n³ - 3n² - n

Jusque là, ça allait !... mais la suite
= 6n² + 12 n + 6
= 6(n² + 2n + 1)
=6(n+1)²

Donc : P_n+1 = P_n + 6(n+1)²
Et tu peux ainsi déduire tous les P_k. On a : P_k = P₀ + 6[1²+2²+3²+...+k²]
(J'ai changé volontairement d'indice mais tu peux prendre n aussi et... oh !!??... Ne serait-ce pas un truc qui ressemble à ce qui est demandé ??! )

Duke.

[invitebd97d45d]

Effectivement !

Pour la 2)2.1, je n'ai étudié que 3 cas,
1er cas : a = 3k ; b = 3k'+1
2è cas : a = 3k+1 ; b=3k'
3è cas : a = 3k ; b=3k'
mais est ce qu'il faudrait pas ajouter d'autre? :
a=3k ; b=3k'-1 ?
a=3k-1 ; b=3k' ?

Pour la 2)2.2)2.2.1),
Expliquer pourquoi lorsqu'un nombre n'est pas multiple de 3, il peut s'écrire 3k+1 ou 3k-1 avec k € N.
Comment dois je l'expliquer?
Est ce que dire que : "tout nombre multiple de 3 s'écrit 3k avec k € Z, donc, un nombre non multiple de 3 s'écrit forcément 3k+1 ou 3k-1. est suffisant?"

Merci beaucoup pour vos réponses !

[leg]

.
Pour 2)2.2)2.2.3) Il faut que je refais a x b avec les différents cas proposés puis en déduire que c'est vraie car le produit de deux nombres divisibles par 3 donne un nombre divisible par 3?

oui, m3 * m3 = 0(9)= 0(3)