Les suites

[invite6e35cc34]

Bonjour, j'aimerais de l'aide afin de résoudre cet exercice où je bloque complètement. L'énoncé est le suivant :

On considère la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par { U0=1 ; U1=2 et Un+2= 3/2Un+1 - 1/2Un
Soit (Vn) la suite définie pour tout entier naturel n par : Vn = Un+1 - Un

1. Montrer que (Vn) est une suite géométrique de raison 1/2 et calculer en fonction de n la somme Sn = V0 + V1 + ... + Vn-1.
2. Ecrire l'égalité Vn = Un+1 - Un pour n=0, puis pour n=1, puis pour n=2 etc ...
En déduire que : V0 + V1 + V2 + ... + Vn-1 = Un - U0
3. En utilisant les résultats des deux questions précédentes, exprimer Un en fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (Un).
5. A l'aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que (3 - Un) < 10^-5.
6. Soit (Wn) la suite définie pour tout entier naturel n par : Wn = 3 + 1/8^n
Déterminer la limite de (Wn) puis le plus petit entier n tel que ( Wn - 3 ) < 10^-5

J'ai résolu la question n°1 ainsi que la seconde mais à l'aide de ces résultats je n'arrive pas à résoudre la question n°3 ...
Merci d'avance
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[invite6e35cc34]

S'il vous plait, j'ai vraiment besoin d'aide ...

[jamo]

Bonjour
pour démontrer qu'une suite est géométrique , il suffit de faire le rapport Vn+1/Vn =q et dans ton cas q=1/2

[invite6e35cc34]

Bonjour jamo,

Merci de ton aide mais ce n'est pas là où je bloque, j'ai déjà démontré que la suite était géométrique. Là où je n'arrive pas, c'est exprimer Un en fonction de n soit la question 3

[A voir en vidéo sur Futura]

[jamo]

puisque Vn est une suite géométrique , que vaut la somme :
V0 + V1 + V2 + ... + Vn-1 ?
V1=qV0
V2=qV1=q²V0
....
Vn-1=q puissance(n-1)V0
il n'y a plus qu'à sommer , tu l'as vu en cours ça normalement

[jamo]

que vaut cette somme ?

[invite6e35cc34]

Sn = premier terme x ( 1 - raison ^nombre de termes / 1 - raison ) soit
= 1 x ( 1 - 1/2^n / 1/2 )

Non ?

[jamo]

oui ou autrement 2(1-1/2puissance(n))
Vn = Un+1 - Un
V1=U1-U0
V2=U2-U1
V3=U3-U2
tu remarqueras qu'en additionnant V1+V2+V3 le U1, U2 s'annulent
et on faisant la somme de V1+....Vn = ?

[invite6e35cc34]

V1=U2-U1 il me semble.
En faisant la somme de V1 + ... + Vn = Un - U0 car U0 est le seul qui ne s'annule pas. Non ?

[jamo]

exact , tu as raison donc V1 + ... + Vn = Un - U0 et V1 + ... + Vn=2(1-1/2puissance(n))
donc
2(1-1/2puissance(n)) = Un-U0 et U0=1 y a plus qu'à mettre U0 de l'autre coté de l’égalité pour avoir Un en fonction de (n)

[invite6e35cc34]

Oh, merci beaucoup !!!