Polynômes terminal ES

[inviteea8b63ba]

D'abord bonjour à tous. Je suis actuellement en terminal ES et les maths et moi ça fait deux..
Pour lundi j'ai un DM de mathématiques avec 3 exercices.

On souhaite obtenir les variations de la fonction f définie par f(x) = x^3 - 1 / x^2 + 2x + 1

1) a)
Déterminer l'ensemble de définition D de f.
b) Vérifiez que : C'est un A à l'envers x appartient D, f'(x) = x^3 + 3x^2 +2 / (x+1)^3
c) Expliquez comment; connaissant le signe de : g(x) = x^3 + 3x^2 +2 on peut en déduire sur D celui de f'(x)

2) a) Calculez g'(x) et étudiez son signe

b) Dressez le tableau de variation de g.
c) Montrez que l'équation g(x) = 0 possède une seule solution alpha dans l'intervalle [-4 ; -3] et que, dans R, il n'y a pas d'autre solution.
Donnez un encadrement de alpha de longueur 10^-2
d) Donnez le signe de g(x)

3) a) Déduisez des questions précédentes le signe de f'(x)
b) Dressez le tableau de variation de f.

J'ai vraiment essayer de comprendre, mais je n'ai jamais compris les fonctions, les dérivées ect.. c'est un peu problématique en ES je sais.. Si vous pouviez m'aider à faire cet exercice et à m'expliquer ce serait génial. Merci d'avance !
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[Duke Alchemist]

Bonjour.

D'abord bonjour à tous. Je suis actuellement en terminal ES et les maths et moi ça fait deux..

C'est plutôt gênant, ça...

On souhaite obtenir les variations de la fonction f définie par f(x) = (x^3 - 1) / (x^2 + 2x + 1)

Avec les parenthèses c'est mieux

1) a) Déterminer l'ensemble de définition D de f.

La fonction proposée est une fonction rationnelle c'est-à-dire un rapport de deux fonctions. A quelle condition cette fonction est-elle définie ?

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Quand son dénominateur n'est pas nul, bien sûr !
Il te faut donc trouver les valeurs annulatrices (éventuelles) du dénominateur et les retirer de l'ensemble des réels puisque ce seront alors des valeurs interdites.

b) Vérifiez que : C'est un A à l'envers x appartient D, f'(x) = (x^3 + 3x^2 +2) / (x+1)^3

Tout d'abord ce "A à l'envers" se lit "quel que soit..." ou "pour tout..." donc le début de ta proposition est "Vérifiez que pour tout x de D,..."
Ensuite, la forme initiale de la fonction f peut être factorisée (suite à la réponse donnée au 1.a) et c'est une fonction (rationnelle) du type u/v dont la dérivée est ...

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(u'v-uv')/v²
En posant u(x) = ... et v(x) = ..., tu dois après simplification retrouver le résultat demandé.

c) Expliquez comment; connaissant le signe de : g(x) = x^3 + 3x^2 +2 on peut en déduire sur D celui de f'(x)

Indice : c'est comme pour un produit.
Mais je me pose des questions pour le dénominateur...

2) a) Calculez g'(x) et étudiez son signe

Il y a plus dur à dériver qu'une fonction polyomiale[QUOTE]

b) Dressez le tableau de variation de g.
c) Montrez que l'équation g(x) = 0 possède une seule solution alpha dans l'intervalle [-4 ; -3] et que, dans R, il n'y a pas d'autre solution.

C'est l'application du théorème des valeurs intermédiaires.

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Tu détermines la stricte monotonie de la fonction g sur l'intervalle [-4;-3] (c'est-à-dire si elle est strictement croissante ou décroissante) puis tu calcules g(-4) et g(-3) et tu en déduis normalement la conclusion

Donnez un encadrement de alpha de longueur 10^-2

La calculatrice est ton amie

d) Donnez le signe de g(x)

C'est la suite logique de ce qui précède

3) a) Déduisez des questions précédentes le signe de f'(x)
b) Dressez le tableau de variation de f.

Yapluka !

Duke.