exercice Terminale S

[invite83790921]

Bonjour,
Je suis en terminale S et j'ai un exercice que je n'arrive pas à résoudre,donc j'aimerai que vous me filez un coup de main SVP o(∩_∩)o .
Voici l'énoncé: c' est une démonstration par récurrence.
on nous donne u₀=a et u_n+1=u_n(2-u_n).
donc on voudrait démontrer que quelque soit n entier naturel et a réel appartenant à [0;1], 0<=u_n<=1 .

Pour ma part je bloque à l'étape d'hérédité, j'avais manipulé l'inéquation de sorte à faire apparaitre u_n+1,càd:
0<=u_n<=1
0<=u_n*(2-u_n)<=1*(2-u_n)
0<=u_n+1<=(2-u_n)
Et je ne sais plus comment continuer parce que 2-u_n=>1, donc ....

Merci d'avance pour votre aide! o(∩_∩)o
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[gg0]

Bonsoir.

Tu pourrais étudier la fonction x--> x(2-x) sur [0;1].

Cordialement.

[invite83790921]

Bonjour,
La consigne était d'utiliser un raisonnement par récurrence, et de plus, la suite est définie par récurrence donc je vois pas ce qu'on peut en tirer en étudiant cette fonction. Merci pour votre réponse.o(∩_∩)o

[PlaneteF]

Bonjour,
La consigne était d'utiliser un raisonnement par récurrence, et de plus, la suite est définie par récurrence donc je vois pas ce qu'on peut en tirer en étudiant cette fonction. Merci pour votre réponse.o(∩_∩)o

Bonsoir,

Lorsque gg0 t'invite à étudier la fonction sur , c'est bien dans le cadre du raisonnement par récurrence qui t'est demandé ... Tu as raison pour un 1^er essai de raisonner avec les bornes comme tu l'a fait, mais tu as constaté par toi-même que cela ne te permettait pas de conclure. Etudie donc la fonction comme conseillé, cela te prendra 30 secondes, et cela te permettra ensuite de conclure en 5 secondes

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83790921]

Bonsoir,
J'ai étudié cette fonction comme vous l'avez dit, et pour ce fait j'aicalculé sa dérivée et je trouve que sur [0;1] elle est croissante et en quoi cela m'aide à conclure?
Par ailleurs,on n'étudie pas la fonction seulement quand la suite est définie explicitement?

Merci.

[gg0]

Manifestement,

tu n'es pas allé au bout de l'étude : Tableau de variations, éventuellement courbe (mais ici on peut s'en passer si on se souvient de l'objectif : Faire la récurrence).

Tu as un objectif : prouver que u_n+1 est compris entre 0 et 1. Je te dis d'étudier une fonction, tu résistes, PlanetF te dit que ça servira pour la récurrence, et tu résistes encore. Il t'arrive de vouloir trouver ?

[invite83790921]

Sincèrement,

Peut-être que je me suis mal exprimée,mais ça fait à peine un mois que j'ai nous avons commencé à étudier le raisonnement par récurrence et je ne sais pas comment le faire avec une étude de fonction (notre prof nous a toujours dit que on étudie une fonction d'une suite seulement quand celle-ci est définie explicitement) et qu'est ce qu'on peut étudier de plus que le sens de variation? Et surtout comment on l'intègre dans la récurrence?

Merci!

[gg0]

Mais ne mélange pas tout !

Dans une preuve par récurrence, il y a une partie où on doit démontrer que l'hypothèse pour n permet de prouver la même hypothèse pour n+1. Tu l'as formulée et depuis le début, j'essaie (et PlaneteF avec moi) de te dire que pour faire cette preuve (pour arriver à 0<=u_n+1<=1), tu peux étudier la fonction.
Inutile de pleurer que tu ne connais pas bien la récurrence, ce n'est pas la question !

En fait, tu pleures surtout pour qu'on te fasse un corrigé. Tu ne l'auras pas. On t'a donné assez d'éléments; maintenant tu mets en route ton intelligence, tu relis les indications, tu réfléchis à ce que tu dois faire, et tu le fais.

[invite83790921]

Bonsoir,
Voici le fruit de mon raisonnenment, est ce qu il tient la route à votre avis?

On nous donne u₀=a et 0<=a<=1, et u_n+1=u_n*(2-u_n)
Soit la propriété P(n):"0<=u_n<=1" pour tout n entier naturel

Initialisation: soit n₀=0
u₀=a et 0<=a<=1 donc p(0) est vraie

Hérédité:soit n>n₀ et quelque soit n entier naturel
Supposons P(n) est vraie pour n donné.
soit f(x)=x(2-x) la fonction associé à u_n+1.
nous avons f'(x)=2-2x, et d'après un tableau de variation, sur x appartenant à [0;1] f' est positif donc f est croissante stricte. Ainsi sur [0;1], la fonction f admet un minimum pour x=0,soit f(x)=0, et un maximun à x=1,soit f(x)=1,
donc 0<=f(x)<=1. Or f(x) est la fonction associé à u_n+1, nous avons 0<=u_n+1<=1.
Donc P(n+1) est vraie.

Conclusion: Puisque P(n) est vraie au premier rang et elle est héréditaire, alors d'après l'axiome de raisonnement par récurrence, pour tout n entier naturel, 0<=u_n<=0

Est ce que c'est correct comme démarche?

Merci pour vos pécieux conseilles！

[PlaneteF]

Or f(x) est la fonction associé à u_n+1, nous avons 0<=u_n+1<=1.

Oui c'est OK, ... je vais juste chipoter un tout petit peu sur cette justification (en citation) que tu peux rédiger de manière un peu plus précise et explicite :

Grâce à l'étude de la fonction , tu as démontrer que : Quel que soit ,

Puisque par hypothèse de récurrence , on peut donc choisir (c'est cela que tu ne dis pas explicitement et qui est important), ce qui donne , soit encore

[invite83790921]

Merci beaucoup pour vos aides o(∩_∩)o