Bonjour, j'ai un petit soucis avec cet exercice.
Soit une fonction dérivable et continue sur [0; 1] telle que:
f(0)=f(1)=1/2
et pour tout réel appartenant à [0; 1]
f'(x)<1.
Démontrer que l'équation f(x)=x admet une unique solution dans [0; 1]
0 et 1 ne peuvent pas être solution et f(x)=x non plus car f'(x)<1
Merci de votre aide
Je pense que la TVI fera l'affaire , réfère toi à ton cours pour répondre , car ce cas est trivial
Qu'est ce que la TVI?
Merci
Théorème des valeurs intermédiaires :
Bon soi tu n'en n'as jamais entendu parlé et là je pense que cet exo est une initiation ; soit vous avez fait le cour et tu as oublié ; enfin ce n'est pas grave ^^
Ce théorème stipule que si une fonction est continu sur un intervalle alors elle doit passer au moins une fois par chacune de ces images , c'est à dire qu'elle est surjective .
Ce n'est pas assez clair je sais , mais prenons ton exemple par exemple -XD-
posons g(x)=f(x)-x on remarque que g(x) est continu sur [0; 1] dans ce cas si on arrive à prouver qu'il existe deux g(x1) et g(x2) dont les signes sont différents alors on prouvera qu'il existe au moins un point dans lequel g(x) s'annule et par conséquent ce point satisferai l'énoncé , f(x)=x !
En espérant t'avoir aidé ^^"
Merci beaucoup pour ton aide, je me penche tout de suite sur le sujet!
à bientôt =D
consdere la fonction g définie par g(x) = f(x) -x et fais son tableau de variation entre 0 et 1 sachant que g'(x)=f'(x)-1 donc strictement .... et la réponse apparaitr evidente ; a toi ...
