Equation à 2 inconnues

[inviteb523c241]

Bonjour,
J'ai un exercice qui me demande de trouver les uniques entiers positifs de x et y qui permettent de résoudre l'équation x^2+84x+2008=y^2.
Voici mes étapes :
x^2-84x+(2008-y^2) = 0
Delta = 4(y^2-244)
Donc x1 = -42-sqrt(y^2-244) C'est impossible car dans ce cas j'obtiendrais un nombre négatif
x2 = -42+sqrt(y^2-244)
Et là, problème...
Je dois trouver la valeur de y tel que sqrt(y^2-244) soit un entier positif et que y^2>=244

J'ai trouvé la réponse en faisant un tableau sous Excel mais j'aimerais savoir s'il n'existe pas un moyen de le prouver autrement sachant que je suis en première S.
Pour info j'ai trouvé y=62 et après en remplaçant x=18

Cordialement
Benji1996
-----

[gg0]

Bonjour.

En utilisant la forme canonique (ou une identité remarquable), on écrit l'équation sous la forme :

Soit encore


Pour simplifier la suite, je pose a=y-x-42 et b=y+x+42. On a a<b, ab étant positif et b positif, a est aussi positif, et a et b sont deux diviseurs de 244, dont le produit fait 244. On a donc seulement quelques cas :
a=1 b=244
a=2 b=122
a=4 b=61
et c'est tout car 61 est premier.
Il ne reste qu'à résoudre les système pour trouver x et y et ne garder que les cas où ils sont tous deux entiers. Un truc : a+b = 2y, donc a+b doit être pair, ce qui ne laisse que le cas a=2 b=122 et donc y=62.

Cordialement.

NB : C'est plus un exercice de terminale, spécialité maths.

[inviteb523c241]

Euh... Je suis incapable de faire ça
Je ne sais que résoudre des équation quand c'est égale à 0...
Et comment j'explique que a=y-x-42 et b=y+x+42 ??? Je ne l'ai jamais vu...

Sinon je pense avoir compris sauf ce dernier détail concernant a et b^^"

Terminale spé maths... Ils abusent les profs pour les DM...

[gg0]

En première S, tu es incapable d'utiliser les identités remarquables ?????
Je faisais faire ça aux élèves de seconde il y a quelques années, et ton prof l'a sans doute utilisé pour justifier les formules de résolution de l'équation du second degré :
x^2+84x+2008= x²+2*42*x + ( ?)²-(?)²+2008 = (x+42)² +...
En mettant le nombre adéquat (facile à imaginer si on n'est pas complètement idiot) à la pl8ace de ? (le même les deux fois, pour que ça soit bien égal), on s'arrange pour que x²+2*42*x + ( ?)² soit un carré parfait (tu vois pourquoi le 2*42*x ?).

Autre chose : Tu lis bien mal ce qu'on t'écrit : "Pour simplifier la suite, je pose a=y-x-42 et b=y+x+42". Donc a et b, c'est moi qui décide de les utiliser pour que ce soit plus facile à expliquer ensuite.
"Et comment j'explique que a=y-x-42 et b=y+x+42 ???" Comme je l'ai fait ! Il n'est pas interdit de donner un nom à un nombre, c'est même la base de l'algèbre !
"Je ne l'ai jamais vu..." Il y a des tas de choses que tu n'as jamais vues, ça ne t'empêche pas d'agir intelligemment. La formation en maths, ce n'est pas copier bêtement ce qu'écrivent les profs, c'est apprendre à utiliser intelligemment les règles de maths.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb523c241]

Ca j'avais compris l'identité remarquable. (surtout que j'en ai mangé plein de ce genre...)
Je parlais juste de a et b. J'avais pas compris que c'étais juste un nom. J'étais resté sur ax^2+bx+c et je ne comprenais pas le rapport. Mais là je comprends mieux^^"

Merci de votre explication.
Dernière question. Je suppose que vous êtes ou avez été prof de maths et quelle solution me conseillez vous sachant que le prochain chapitre qu'on aborde est les dérivés de fonction (que "j'utilise" en quelque sorte dans mon raisonnement)

Cordialement.

[gg0]

Oui,

j'ai été prof de maths. Mais je ne comprends pas de quoi tu parles. Dans quel raisonnement utilises-tu la dérivée ?

Cordialement.

NB : A ton âge, j'ai appris seul les dérivées, primitives, etc. Mais je ne m'en suis servi qu'au moment où on l'avait vu en cours. La règle est simple : Utiliser les règles du cours. mais parfois, pour trouver ce qu'il faut démontrer, c'est pratique d'avoir de l'avance.

[inviteb523c241]

Oula je dis n'importe quoi
J'ai confondu avec un autre exercice. Désolé...

C'est vrai que ça aide mais en contrôle on peut pas les utiliser... C'est bien dommage.

Merci beaucoup de votre aide

Cordialement