fonction exponentielle

[invite88fff6d8]

bonjour j'ai un exercice mais il y a des question a laquelle je n'arrive a répondre voici l'énoncé :
la ou je bloque le plus c'est le calcul de la dérivé g'(x)
On considère le point A du plan de coordonnées (1 ; 0) et on s'intéresse au minimum de la distance AM où M est
un point de la courbe C .

1. M étant un point d'abscisse x de la courbe C , calculer en fonction de x la distance AM-> j'ai reussi
2. On considère maintenant la fonction g définie sur IR par :

g(x)=(x-1)²+((e^2x)-(e^-x))²/4
a. Calculer g'(x)
b. On désigne par g''(x)la fonction dérivée seconde de g.
Calculer g''(x)
Montrer que pour tout x réel : g"(x)=e^2x+e^-2x+2

c. En déduire les variations de g'(x)sur R.
d. Montrer qu'il existe un unique nombre réel α de l'intervalle [0 ; 1] vérifiant g ‘(α) = 0.
Vérifier l'inégalité suivante : 0,46<=α<=0,47.
Déterminer le signe de g'(x)selon les valeurs de x.
e. Déterminer les variations de la fonction g sur R (on ne demande pas les limites de g en +∞ et en −∞). Quel est
le minimum sur R de la fonction g ?
3. Établir que la distance AM est minimum au point Mα d'abscisse α de la courbe C .
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[gg0]

Bonsoir.

g(x)=(x-1)²+((e^2x)-(e^-x))²/4
g(x) est une somme : dérivée d'une somme ... U+V
Le premier terme est une puissance ... Uⁿ
Le deuxième est une fraction, mais en fait, le dénominateur est constant, donc c'est le numérateur multiplié par 1/4 ....aU
Le numérateur est une puissance ... Uⁿ

Et pour dériver les exponentielles (e^2x et e^-x), tu dois avoir en cours soit la dérivée de e^ax+b soit la formule plus générale de la dérivée de e^U.

Maintenant que je t'ai tout expliqué, à toi de faire le travail ...

[invite88fff6d8]

c'est quoi aU et e^u

[gg0]

Tu n'as pas appris à dériver ?

aU symbolise af(x) ou kf(x) ou une notation analogue : Dérivée d'une fonction multipliée par une constante.
e^U sybolise exp(f(x)). Dérivée de l'exponentielle d'autre chose que x.
Pour la dérivée de e^u, il est possible que tu ne la connaisses pas : Je ne sais pas quels sont tes cours. Mais tu dois connaître les méthodes de dérivation.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88fff6d8]

alors voila moi j'ai fais comme et je voulais savoir si c'étais bon
Alors je commence par dériver (x-1)² qui est de la forme u.v où v = u, et la dérivée de u² est 2 u.u'
Ce qui fait 2(x-1)
ensuite on s'occupe de la dérivée des exponentielles. De la forme 1/4 u²
1/4 * 2 * ((e^2x)-(e^-x))*(2e^2x-(-e^-x)) je crois
1/2 * (e^2x.2e^2x + e^2x.e^-x - 2e^-xe^2x - e^-x.e^-x)
1/2 (2e^(2x+2x) +e^(2x-x) -2e^(2x-x) -e^(-x-x))
1/2(2e^4x+e^x-2e^x-e^-2x)
1/2(2e^4x-e^x-e^-2x)
Donc g'(x) =2(x-1) + 1/2(2e^4x-e^-2x-e^x)

[invite88fff6d8]

personne pour me corrigé car on utilisant une autre méthode je trouve
2x-2+e^2x+1/2e^-x
s'il vout plait qu'elle est la bonne réponse

[invite88fff6d8]

je suis désolé c'est moi qui est commis une faute dans la forme de g(x)
je me suis trompé j' ai mis un 2 en plus désolé
g(x)=(x-1)²+(((e^x)-(e^-x))²/4)

[invitee4ef379f]

Bonjour.

Tout ça me paraît bien compliqué pour arriver à un résultat faux...

La dérivée de (x-1)² est juste, quoi que la méthode employée soit bien compliquée.

L'autre partie est fausse.

Soit une fonction u(x) définie sur un intervalle donné.

La dérivée de u^k est k.u(x)^k-1.u'(x), où k est une constante réelle. La dérivée de e^u(x) est u'(x)e^u(x). Tout ça est écrit dans ton cours.

Il ne reste plus qu'à appliquer ça à chaque terme de ta fonction, puis de les sommer puisque la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées.

Bonne journée.

[gg0]

Bonjour Sse27

Avec ta première fonction, 1/4 * 2 * ((e^2x)-(e^-x))*(2e^2x-(-e^-x)) était correct, et, à part la simplification du 1/4 * 2, il n'y avait pas de simplification à faire.

Avec g(x)=(x-1)²+(((e^x)-(e^-x))²/4) , tu peux reprendre le même travail, mais cette fois-ci, il y aura un intérêt éventuel à multiplier (e^x)-(e^-x) par sa dérivée.

Enfin le calcul utile est celui de g".

Bon travail !

[invite88fff6d8]

g(x)=(x-1)²+((e^2x)-(e^-x))²/4 = (x-1)² + ((e^2x)²-2e^2xe^-x+(e^-x)²)/4 = (x-1)²+(e^4x-2e^x+e^-2x)/4
maintenant calculons g'(x)
g(x)=(x-1)²+(((e^x)-(e^-x))²/4) = A² +B²/4
g'(x) = 2(x-1) + 1/4*B²'
B²' = 2BB' = 2*(e^x-e^-x)(e^x+e^-x) = 2*[e^(x+x)+e^(x-x)-e^(-x+x)-e^(-x-x)] = 2(e^2x+1-1-e^-2x)
g'(x) = 2(x+1)+1/2(e^2x-e^-2x)
et sa est ce que c'est bon

[gg0]

Avec les parenthèses, oui (règles de collège !!!!!) :
g'(x) = 2(x+1)+1/2(e^(2x)-e^(-2x))