Equation diff
bonjour a tous, voici mon probleme :
je dois resoudre des equations diff du genre :
a)y'+y=1/(1+e^t) : pour celle la je suis bloqué , c'est pas de la forme que j'ai vu en cours soit : y'(t)+a(t)y=b(t) car a(t) ici est constant, ni y'+ay=b: b n'est pas constant.
b) y'+iy=t² : de meme pour celle là
c)y'+tan(t)y=1/cost : et encore pareil
ma premiere question serait si je peux utiliser la forme y'(t)+a(t)y=b(t) avec a(t) constant et dire que a est egal a i ? (cas b))
voila merci de votre aide
Une fonction constante est une fonction.
Cordialement.
Tu es en prépa ?
Dans le cas y'+y=1/(1+e^t)
1) Cherche la solution de l'équation homogène seh' + seh = 0
2) Cherche la solution de l'équation particulière de la forme sep(t) = se(t)*1/(1+e^t) (tu devras refaire une boucle pour trouver se(t))
3) La solution de l'équation complète est seh + sep
Dans le cas y'+iy=t² avec i constante € R
1) seh' + iseh = 0
2) Cherche la solution particulière sep de la fore at²+bt+c
3) La solution de l'équation complète est seh + sep
Dans le cas y'+tan(t)y=1/cost
Là c'est un peu plus chiant à cause du tan(t)
1) seh
2) Essaye d'écrire l'équation sous la forme yy' = X et intègre le tout. (intégrale de yy' = y²/2)
Dernière modification par aurelienbis ; 09/11/2012 à 14h32.
pour le a)
1)je n'ai pas tres bien compris par ce que tu voulais dire pour trouver la solution de l'equation homogene : seh' + seh = 0,
normalement je fais : yh est de la forme : k.e^-A(t) , A(t) etant une primitive de a soit de i dans mon equation : y'+iy,
sauf qu'une primitive de i ...
2) pareil pour le 2, je vois pas le sous entendu pour "sep(t) = se(t)*1/(1+e^t)", pour trouver une solution particuliere, je faisais soit par la varation de la constante ou soit par superposition
Re : Equation diff
je viens de me rendre compte que j'ai melangé les 2 sur mon 2eme post, je m'en excuse
a) 1) si je reprend j'ai : une solution de lequation homogene yh=k.e^-A(t) , où A(t) est une primitive de a qui vaut 1 dans mon equation de depart : y'+a(t)y=1/(1+e^t)
j'ai donc : yh=k.e^-t
2) pour la solution particuliere: je peche la
Oulàoulà !
Qu'est ce que c'est que cette méthode ?
Pour trouver seh c'est simple, tu mets tous tes y(t) d'un coté, tout le reste de l'autre, ce qui est déjà le cas à la base. Puis ce qui est à droite = 0
Un exemple de résolution :
ay''+by'+cy=0
aL²+bL+c=0 => Fonction polynôme facile à résoudre, tu trouves L1 et L2
Ensuite seh = C1*e(L1*t) + C2*e(L2*t) avec C1 et C2 constantes quelconques appartenant à R.
Pour trouver sep, la forme va dépendre du membre de droite :
si c'est un polynôme, sep sera un polynome (attention à l'ordre)
si il y a du e(t), tu retrouveras du e(t)
si il y a du cos ou sin, ce sera de la forme Acos + Bsin (A & B constantes)
Je t'aide juste pour le premier :
y'+y=1/(1+e^t)
y'+y=0
L+1=0 ; L = -1
Seh = {C1e(-t); C1 cst € R}
Sep de la forme 1/(1+e^t)*Se(t)
(Se(t)/(1+e^t))'+(Se(t))/(1+e^t)=1/(1+e^t)
Bon, là il faut s'amuser à dériver (Se(t)/(1+e^t))' . Une fois que c'est fait tu simplifies et tu te retrouves avec une équation de la forme aSe' + bSe = X mais sans e(t) ! (sinon ça ne sert à rien)
Tu résous cette deuxième équation différentielle que tu devrais savoir faire.
Tu remplaces le Se que tu as trouvé dans l'équation Sep(t) = 1/(1+e^t)*Se(t), tu l'additionnes à Seh et tu as ta solution.
Aurélienbis,
Swiatlo utilise une méthode ultra-classique. Que tu ne connais peut-être pas, mais qui est tout à fait valable. Comme tu as essayé la tienne tu as obtenu le même résultat !
Swiatlo,
si tu ne trouves pas de solution particulière (on ne voit rien d'évident), tu peux utiliser la méthode de variation de la constante. C'est ce que dit Aurélienbis avec ses notations bizarroïdes (seh, sep).
Cordialement.
je crois que je vais plustot utiliser la variation de la constante que je connais mieux ... parceque là : je suis en train d'essayer et je patoge un peu
mais merci quanc meme
Oui mais moi je suis un ultra hipster et je n'aime pas la méthode mainstream !Swiatlo utilise une méthode ultra-classique.
C'est ce que dit Aurélienbis avec ses notations bizarroïdes (seh, sep).
j'ai fini le a) et en effet c'etait beaucoup plus simple avec vos aides,
mais je suis bloqué pour le b) y'+iy=t², c'est surtout le i qui me gene,
en utilisant la methode 'classique' (vu que c'est le seul theoreme que j'ai vu) je n'arrive pas a trouver ma solution de mon equation homogene :
car je fais, yh=k.e^(-A(t)), A etant ma primitive de "a" qui correspond a i dans mon equation ...
puis pour trouver ma solution particuliere yp, j'ai suivi tes instructions mais avec des "i" partout
j'ai fait : yp(t) sous la forme polynomial soit yp(t)=at²+bt+c et donc yp'(t)=2at+b
yp est solution de mon equation y'+iy=t² ssi <=> 2at+b+i(at²+bt+c)=t²
ssi <=> 2at+b+iat²+ibt+ic-t²=0
ssi <=> t²(ia-1)+t(2a+ib)+b+ic=0
j'ai une fonction nulle , par identification : ia-1=0 / 2a+ib=0 / b=0 / ic=0
donc a= .. ?
a = 1/i convient puisque i est une constante.
oui mais apres cela ne va pas vu que j'ai :
a=1/i
b=(-2a)/i=-2/i² et sa fait pas 0 ..
Sinon pas de supposition pour la solution de l'equation homogene? :s
