Terminale S : demonstration progression geometrique

[invitebba56f68]

Bonjour à tous/toutes !

Petit exercice où je n'arrive pas à avancer depuis une semaine.
Voici l'énoncé :

"Soient a,b,c appartenant à R. a,b,c sont trois réels qui ne sont ni en progression arithmetique ni geometrique. Montrez qu'il existe x different de 0 tel que a+x, b+x et c+x soient en progression geometrique"

Pour moi il est clair que si a,b,c ne sont pas en progression arithmetique alors a+r ≠ b et b+r ≠ c (r etant la raison)
Ensuite si a,b,c ne sont pas en progression geometrique alors q*a ≠ b et q*b ≠c

le but est donc de montrer que.pour tout x ≠ 0 :

q*(a+x)= b+x et que q*(b+x)=c+x

si on montre cela c'est gagné mais je parviens pas... Un peu d'aide serait le bienvenue !

Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

C'est qui, r et q ? Comme ils ne sont pas connus, ce que tu as écrit ne dit pas grand chose. Il vaudrait mieux exprimer l'hypothèse sans q et r, par exemple a+c = 2b pour une progression arithmétique a, b, c; d'où comme hypothèse . Je te laisse trouver la deuxième.

Ensuite, tu peux utiliser la même idée pour montrer que certaines valeurs de x (une au moins) permettent de faire que a+x, b+x et c+x sont en progression géométrique. Et comme par hasard, tu retombera sur les conditions que tu as posées !!

Cordialement.

[invitebba56f68]

Pour moi, q est la raison avec la quelle on fait le produit de q et du terme précédent (comme dans une suite).

L'idée que tu me proposes me semble plus correcte. Je pars avec ça de mon côté et je reviendrai pour donner la réponse que je trouve

Merci enormement de ta réponse te de ton aide

[invitebba56f68]

Après quelques reflexions j'ai trouvé l'égalité qui verifie la progression geometrique

a,b,c sont en progression geometrique si et seulement si b/a=c/b

Donc si on revient à l'exercice, ici b/a ≠ c/b.

Mais la suite me fait defaut...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Plus manipulable : b²=ac.

Donc tu as deux conditions qui serviront ensuite :


Maintenant, écris (de la même façon) que a+x, b+x et c+x sont en progression géométrique. Tu auras une équation sur x.

Cordialement.

[invitebba56f68]

Ok, donc en revenant sur a+x, b+x et c+x on a :



On résout donc cette équation (de degré 2 je suppose) et on a le x qui vérifie a+x, b+x et c+x en progression géométrique

Le probleme est : a quoi ça nous sert de savoir que a,b,c ne soient pas en progresion arithmetique et que ?

On ne peut utiliser cette propriété dans l'équation à résoudre ?

[gg0]

Si tu faisais ton travail au lieu de poser des questions, tu aurais depuis longtemps les réponses ..

[PlaneteF]

On ne peut utiliser cette propriété dans l'équation à résoudre ?

Bonsoir,

Si, si, ... vas-y, résout l'équation en que tu as écrit et tu verras que justement tu vas utiliser les 2 hypothèses de départ.

[invitebba56f68]

Si tu faisais ton travail au lieu de poser des questions, tu aurais depuis longtemps les réponses

Oui c'est mon défaut je me pose trop de questions ! je résout l'équation et on verra bien !

@PlaneteF : merci pour ton indice il me sera précieux

[invitebba56f68]

J'ai don ceci :



Peut-on à cette ligne dire que ? Ca nous debarraserait du devant l'expression et on aurai ainsi

D'où ? C'est bien sur cela qu'on tomber ?

[PlaneteF]

Le "" du milieu est en fait un ""

Peut-on à cette ligne dire que

Primo, je ne vois pas ce qui te permettrait de conclure cela, ... secondo, une des 2 hypothèses est justement le contraire, à savoir

D'où ? C'est bien sur cela qu'on tomber ?

Même remarque !

[gg0]

Que de difficultés pour résoudre une banale équation du premier degré !

Méthode vue en quatrième : mettre tous les termes en x dans un membre, les autres dans l'autre, factoruiser x, et si c'est possible, diviser les deux membres par le coefficient de x.

[invitebba56f68]

@gg0 : c'est exactement ce que j'ai fait si tu lisais mon message... J'ai rassemblé les termes entre eux et j'ai factorisé par x. Me reprocher quelque chose que j'ai fait est de la pure méchanceté. Mais je le prends bien tu sais ^^


On a donc :

Que faut-il conclure de cela ? A part dire que je vois pas vraiment...

[invitebba56f68]

Je crois avoir trouvé quelque chose :

- On sait que et ainsi

[PlaneteF]

- On sait que et

Non tu ne sais pas que , tu dois justement démontrer l'existence d'un tel , donc tu ne peux pas le prendre comme hypothèse.

- On sait que et ainsi

Le "ainsi" est complètement faux : Ce n'est pas parce que et que tu peux en conclure comme tu le fais que .

Exemple : , et , on a bien et et pourtant


En plus de cela, il n'est pas question ici de démontrer cette inégalité !

[invitebba56f68]

L'énoncé indique clairement que x est dfifferent de 0

[PlaneteF]

L'énoncé indique clairement que x est dfifferent de 0

Non, pas du tout, l'énoncé indique clairement :

Montrez qu'il existe x different de 0 tel que a+x, b+x et c+x soient en progression geometrique"

Donc ce n'est pas une hypothèse de l'énoncé, et donc tu ne peux pas t'en servir comme tel comme tu l'as fait en écrivant :

Je crois avoir trouvé quelque chose :

- On sait que et ainsi

[invitebba56f68]

Ok, je comprends mieux maintenant.