progression arithmétique et géométrique

invite3fd145a7 · 03/04/2010, 18h35

Bonjour ! J'ai lu à plusieurs reprises que dans une spirale logarithmique le rayon vecteur r est en progression géométrique, et l'angle $\text{[math]}$ entre ce rayon vecteur et la tangente à la courbe (au point de la courbe correspondant au rayon vecteur) est en progression arithmétique. Jusque là ok. Mais de cela on en déduit que la relation entre r et $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ . D'où vient cette relation ?

invite3fd145a7 · 04/04/2010, 12h05

Juste un up...

invited4f0a342 · 04/04/2010, 13h28

bonjour,

L'expression d'une spirale logarithmique est $\text{[math]}$ en coordonnées polaires, il ne s'agit donc pas de l'angle $\text{[math]}$ entre le rayon vecteur et la tangente à la courbe. Cet angle est constant dans une spirale logarithmique.

invite3fd145a7 · 04/04/2010, 14h05

L'expression d'une spirale logarithmique est $\text{[math]}$ en coordonnées polaires, il ne s'agit donc pas de l'angle $\text{[math]}$ entre le rayon vecteur et la tangente à la courbe. Cet angle est constant dans une spirale logarithmique.

D'accord, merci beaucoup d'avoir corrigé mon erreur !
Donc si l'on considère dans une spirale logarithmique le rayon vecteur r et $\text{[math]}$ les coordonnées polaires d'un point M de la courbe (r est donc en progression géométrique tandis que $\text{[math]}$ est en progression arithmétique). Comment en déduit-on la relation $\text{[math]}$ ? Merci beaucoup !

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invite3fd145a7 · 04/04/2010, 18h53

Up !

invite57a1e779 · 04/04/2010, 19h12

Bonjour,

Tu veux qu'une progression géométrique pour $\text{[math]}$ corresponde à une progression arithmétique pour $\text{[math]}$ : il me semble que l'on sait depuis la Mirifici logarithmorum canonis descriptio de Neper (1614) que cela se fait en utilisant un logarithme.

invite3fd145a7 · 05/04/2010, 10h12

Merci pour la réponse !
Le problème est que je ne vois pas comment articuler tout ça pour obtenir mon équation... Comme r est en progression géométrique, je pose $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ le rayon vecteur pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ la raison de la suite. Mais comment introduire le $\text{[math]}$ dans la formule (pour aboutir à $\text{[math]}$ ) ? Il faut que je prenne $\text{[math]}$ comme indice $\text{[math]}$ de la suite géométrique ?

invite57a1e779 · 05/04/2010, 10h39

Si l'on choisit des valeurs de $\text{[math]}$ en progression arithmétique, soit $\text{[math]}$ , les valeurs correspondantes de $\text{[math]}$ sont en progression géométrique, soit $\text{[math]}$ .

On en déduit : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

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