Symétrie d'une droite par un axe delta Exercice difficile

[invite95c5cd5f]

Voici un exercice très difficile et je n'ai pu faire que le début (jai trouvé des formules) mais pas la fin. MERCI DE M'AIDER.

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (O,i,j), on considère la droite DELTA d'équation cartésienne: 3x+4y-6=0
1) Soit M(x,y) appartient à P, déterminer les coordonnées (x', y') de l'image M' de M par la symétrie orthogonale S d'axe delta.
2) Déterminer une équation cartésienne de l'image par la symétrie orthogonale S d'axe delta de la droite d'équation cartésienne x-2y+2=0

1)Avec les formules (Merci de corriger)
On a 3x+4y=6
a=3,b=4,c=6
n=a²+b²=25
cm=3xm+4ym (cm=aXM+bYM)
ALORS:
XM'=XM+6(6-3XM-4Ym)/25
YM'=YM+8(6-3XM-4YM)/25

XM'=XM+(36-18XM-24Ym)/25
YM'=YM+(48-24XM-32YM)/25

2) La je n'y arrive pas.
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[invite95c5cd5f]

Pour le 2 je crois avoir trouvé mais...c'est faux à la fin si on vérifie avec A
si je prends 2 points sur la droite x-2y+2=0, je calcule leur symetrique avec ce que j'ai fait dans le 1. et apres je calcule l'equation cartésienne:
Les experts du forum apprécieront:
prenons le points A(6,4) et B(0,1) sur x-2y+2=0
on a A' de coordonnées 6+(36-108-96)/25, 4+(48-144-128)/25
A'(-18/25, -124/25)
B' de coordonnées 12/25, 41/25
avec le vecteur A'B' (6/5,33/5) on trouve l'équation 33/5x-6/5y+6/5=0

[gg0]

Bonjour.

1) Ok, même si on peut simplifier
2) Pour le 2, je trouve presque la même chose, mais il faut changer le signe de la constante. Ma méthode :
Soit D la droite d'équation x-2y+2=0, D' sa symétrique. M(x,y) est sur D' si et seulement si M'(x',y') est sur D. Donc M(x,y) est sur D' si et seulement si x'+2y'+2=0. En remplaçant x' et y' par leur expression en fonction de x et y(qu'on connaît) on obtient : M(x,y) est sur D' si et seulement si ... et, comme on a une équation en x et y, c'est l'équation de D' (définition de l'équation d'une droite).
Mon calcul me donne (11/5)x-(2/5)y-2/5=0
Soit en multipliant les deux membres par 5 : 11x-2y-2 = 0
Tu as trouvé 33/5x-6/5y+6/5=0
soit en multipliant par 5 et divisant par 3 : 11x-2y+2=0

On peut vérifier en regardant si l'intersection de D et D' est bien sur delta.

Cordialement.

[invite95c5cd5f]

Merci monsieur gg0, j'ai vérifié avec A'(-18/25, -124/25) (B' 12/25, 41/25) et vous avez juste.
Mais pourriez vous détailler vos calculs car j'ai du mal à tout comprendre (n'oubliez pas que je n'ai pas de cours pour me guider)
il y a 2 trucs ou j'ai du mal: M(x,y) est sur D' si et seulement si M'(x',y') est sur D
pourquoi M(x,y) est sur D' et non pas M'?
il faut retenir qu'on change le signe de la constante, bon soit,
et apres " Mon calcul me donne (11/5)x-(2/5)y-2/5=0" il est ou?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Je n'ai pas détaillé les calculs que tu avais faits. Pour le 2, il n'y a que très peu de calculs (ça tient en une ligne) en plus de ce que j'ai écrit, et tu es capable de le faire. C'est le "En remplaçant x' et y' par leur expression en fonction de x et y". tu es capable de remplacer, non ? Le reste est un raisonnement qui évite de calculer : Tu peux le lire, non ?
Par contre, tu as intérêt. à rechercher ce qui a provoqué une erreur dans ton équation de D'. probablement peu de choses.

Cordialement.

NB : C'est ce que je t'avais proposé de faire, dans l'autre exercice et que tu n'as jamais voulu essayer ...

[invite95c5cd5f]

pour l'autre exercice je n'y suis toujours pas arrivé...
pour cet exercice j'ai fait le calcul comme dit mais je trouve pas pareil:
avec X' et Y' simplifié
X'=(7X-24Y+36)/25
Y'=(-24X-7Y+48)/25
ON REMPLACE X' Y' dans X'+2Y+2=0? (AVEC LE CHANGEMENT DE VARIABLE)
et on trouve: (-41X-38Y+182)/25=0
c'est peut etre évident m'enfin
EST CE UNE ERREUR DE CALCUL?

[invite95c5cd5f]

j'ai soumis votre résultat à un expert sur un autre forum qui n'y arrive pas non plus
http://www.ilemaths.net/forum-sujet-...tml#msg4397413
bon vous allez probablement dire que les calculs sont évidents à trouver...

[gg0]

Bonjour.

Je ne sais pas qui est ton expert (*), mais
(7X-24Y+36)/25-2*(-24X-7Y+48)/25+2= 0
Donne par un calcul élémentaire (formules connues en quatrième) le résultat voulu.

Je n'ai pas parlé de "CHANGEMENT DE VARIABLE", je ne sais pas pourquoi tu en parles.

Cordialement.

(*) C'était des calculs classiques pour les élèves de terminales scientifiques autrefois. Moi, je ne suis pas un expert, je réfléchis, c'est tout !

[gg0]

Je viens de regarder le fil sur l'Ile. Ton expert trouve comme moi, il n'a simplement pas simplifié son équation !
Les équation 11x-2y-2=0; 55x-10y-10=0; 11/5 x -2/5 y -2/5=0 sont toutes des équations de la même droite ! Ton spécialiste ne connaît pas vraiment le sujet, car on apprend en seconde qu'il y a une infinité d'équations cartésiennes d'une droite, dont les coefficients sont proportionnels.
Tu devrais accorder moins d’importance aux nombres et plus aux relations entre mes nombres.

[invite95c5cd5f]

alors je ne comprends pas pourquoi vous parlez de x' + 2y'+2=0
je vais refaire les calculs. je me suis trompé de mot c'était pas changer de variable mais changer de signe

[invite95c5cd5f]

Sans parler de changement de signe:
On remplace X' et Y' dans x'-2y'+2=0
(7X-24Y+36)/25-2*(-24X-7Y+48)/25+2= 0
alors
55X-10Y-10/25=0
11X-2Y-2=0

[gg0]

alors je ne comprends pas pourquoi vous parlez de x' + 2y'+2=0

Pourtant ce n'est que la traduction de M' est sur D, comme je l'ai présenté. traduction faite avec l'équation. Mais au fait, sais-tu ce que c'est que l'équation d'une droite ??

[invite95c5cd5f]

"Pourtant ce n'est que la traduction de M' est sur D, comme je l'ai présenté

Soit x-2y+2=0, son équation réduite: 2y=x+2
et ce que vous appeler la traduction de M' sur D: 2y'=-x'-2
on voit que y' est l'inverse.
Mais à la limite peu importe, ce que je voulais savoir c'est: est ce nécessaire pour avoir le résultat puiqu'on y arrive
en remplaçant simplement dans l'équation donnée? A mon sens vous etes un grand spécialiste (je dirais un ancien prof de math ou
un docteur en math) mais vous prenez du plaisir à m'embobiner de temps en temps.

[invite95c5cd5f]

Comme le disait le "spécialiste" de l'autre forum, il suffisait de dire:
une condition nécessaire et suffisante pour que M(x,y) appartienne à la droite d'équation x-2y+2=0 est que les coordonnées de son symétrique M'(x',y') vérifient l'équation x'-2y'+2=0 et de remplacer x' et y' que l'on a calculé. Bon j'en reste la. Je vous remercie de m'avoir guidé.