Matrice d'une symétrie orthogonale par rapport à une droite d'angle polaire alpha

[invite82885030]

Bonjour

J'ai un exercice d'algèbre linéaire à faire pour la rentrée (c'est à dire dans une semaine) et je n'arrive pas à faire la dernière question, à savoir:

Soit B=(e1,e2) la base canonique de R²
Déterminez la matrice de la symétrie orthogonale s par rapport à la droite D d'angle polaire alpha dans B.

Comme indication, on a: faire un dessin, et montrez que l'angle (e1,s(e2)) = 2*(alpha)-(pi/2)


Si quelqu'un pouvait m'aider, me donner la marche à suivre... Ce serait vraiment gentil
En cours, on n'a pas encore fini le chapitre sur les matrices, donc la réponse est peut être très simple mais j'avoue que je bloque un peu...

Merci d'avance
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[sylvainc2]

Si on fait un dessin avec des vecteurs, on trouve que l'équation de la symétrie orthogonale est: v' = 2<v,n> - v, où n est un vecteur unitaire directeur de la droite D, v est un vecteur quelconque sur lequel on applique la symétrie, v' est le résultat après la symétrie, et <v,n> est le produit scalaire entre v et n, c'est-à-dire que c'est la projection orthogonale de v sur n. Sous forme de matrices, cela s'écrit: S = 2M - Identité. Donc il faut trouver une expression pour M qui est la matrice du produit scalaire.

Le vecteur directeur de D, en fonction de l'angle alpha, est simplement n = ( cos(alpha), sin(alpha) ), et il est déjà unitaire donc c'est parfait. Alors, c'est pas évident, mais M = n n^t où n est le vecteur colonne et n^t le vecteur ligne, ce produit s'appelle le produit extérieur (ou dyadique, voir http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_dyadique) et le résultat M est une matrice symétrique.

Alors


et


Si on fait les substitutions:
sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)
cos(2x) = 2 cos^2(x) -1 = 1 - 2 sin^2(x)

alors ca se simplifie comme ceci:


On a bien les propriétés d'une symétrie: S^2 = identité, det(S)=-1.

[invite82885030]

Déjà, merci beaucoup pour ta réponse . J'ai compris ton raisonnement, juste deux choses. Comment est-ce que tu peux dire ça:

Sous forme de matrices, cela s'écrit: S = 2M - Identité.

Et ça

Alors, c'est pas évident, mais M = n n^t où n est le vecteur colonne et n^t le vecteur ligne

? à partir de là effectivement le résultat est évident, mais d'où est-ce que ça sort ? Du cours ?

[invitea3eb043e]

Pourquoi ne pas utiliser les coordonnées polaires ? L'argument du point M' se déduit très simplement de celui de M. Quant au rayon, c'est évidemment le même.
Les équations sont super-simples si on les écrit avec le sinus et le cosinus de 2 alpha.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Anatole Fetride]

Salut salut !

Je me pose la même question vis à vis des 2 étapes que Lucie.

En fait j'aimerai bien savoir pourquoi M a cette forme, et démontrer pourquoi s^2=Id et s^-1=s ?

Intuitivement je comprends que si on applique deux fois une symétrie on retourne à notre position de départ mais j'aimerai bien avoir la preuve calculatoire!

Merci d'avance,

Bye!