gradient du gradient d'une fonction et métrique

[mach3]

Bonjour,

Je continue ma lecture approfondie de Gravitation, et je tombe sur la définition de l'opérateur gradient pour générer un nouveau tenseur à partir d'un autre :

Si on a le tenseur S, qui appliqué à deux vecteurs u et v donne :


Alors on défini le gradient de ce tenseur comme :



ou encore, si on ne rempli pas le dernier slot :



Ok pour ça.

On précise notamment, que si appliqué à une simple fonction, le gradient se confond avec la dérivée extérieure : . Ok aussi.

A partir de là, j'ai gambergé un peu. Si on prend le gradient du gradient d'une fonction, on obtient donc :

Ce qui me rappelle la forme générale d'une métrique : (en plus c'est symétrique).

Questions :
-est-ce qu'à partir d'une fonction sur une variété, je peux construire une métrique sur cette variété comme le gradient du gradient de cette fonction?
-est-ce que la métrique d'une variété Riemannienne quelconque "dérive" toujours d'une fonction définie sur cette variété? (par exemple, si j'ai la fonction sur une variété 2D, avec x et y des coordonnées indépendantes, et bien le gradient de son gradient est la métrique Euclidienne du plan).

Merci pour vos réponses

m@ch3
-----

[GrisBleu]

Bonjour

Cet objet est la Hessienne (cf https://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix). Ca peut effectivement servir de (pseudo) métrique. Voir cet exemple http://www.iue.tuwien.ac.at/phd/wessner/node18.html
Cdlt

[AncMath]

Le "gradient" du "gradient" n'est pas bien défini pour une fonction sur une variété. Ou plutôt il ne vit pas dans les fibrés des 2-tenseurs mais dans le fibré des 2-jets. Aucune chance d'en faire une "métrique" donc. Ce qui est bien défini c'est la différentielle de la différentielle mais elle est nulle.

Du reste je comprend pas très bien ta définition elle n'a que peu de chance d’être bien définie. Notamment pour définir ton gradient il doit y avoir un choix de connexion quelque part. A moins que ce que tu appelles gradient ce soit la connexion justement ? Mais ta formule ne peut être vraie pour n'importe quel choix de base locale du fibré tangent et dans tous les cas pas localement sauf cas particulier e.g fibré localement plat.

Bref tel quel ton message manque d'information.

[mach3]

Ok, il semblerait donc que j'ai sauté une (des?) étape(s?). Je suis encore dans les chapitres où on considère des variétés planes (voire des variétés sans métrique du tout), pas des variétés Riemanniennes.

merci

m@ch3

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Je me suis fait la même réflexion que AncMath, j'attendais la connexion. Le nabla est utilisé pour dénoter une dérivée covariante, et appliqué à un tenseur quelconque on s'attend à l'expression comme en https://fr.wikipedia.org/wiki/D%C3%A..._de_tenseurs_2

Un autre usage? Quelle page du MTW?

[Amanuensis]

Je n'avais pas lu le dernier message (malgré son ancienneté).

Cela semble bien être la formule pour la connexion plate.

(Je ne crois pas qu'on puisse définir une dérivée covariante applicable à des champs de vecteurs ou de formes sans connexion. Ou plutôt (?) définir l'un c'est définir l'autre (? parce que je crois me rappeler qu'il y a des divergences de vocabulaire sur le sujet).

Donc peut-être sans métrique, mais pas sans connexion.)

[mach3]

Un autre usage? Quelle page du MTW?

paragraphe 3.5, "working with tensors", page 82. La dérivée covariante est introduite au moins 5 chapitres plus loin.

m@ch3

[Amanuensis]

Hmm... C'est la dérivée directionnelle, le «quatrième slot» est la direction de dérivation.

Pour l'appliquer deux fois, va falloir aussi dériver la direction par rapport à une nouvelle direction, rajouter un slot de plus, je crois comprendre ce qu'AncMath veut dire en indiquant que ce n'est pas dans le bon fibré.

[AncMath]

Je me suis retenu dans mon premier message d'en dire trop de peur que mon barratin nous emmène dans une direction qui n'est pas celle que tu voulais donner au fil. Mais comme j'aime trop causer voici quelques remarques.

Si tu te places sur ou même un ouvert d'un espace de Banach mais étant du genre frileux je préfère rester en dimension finie, les analystes savent faire tout un tas de choses avec les fonctions lisses. Par exemple ils peuvent les différentier deux fois ou les dérivér partiellement deux fois. Ils écrivent, non sans raison d'ailleurs, que si est une fonction lisse alors est tout aussi lisse, je note avec un grand D pour des raisons qui deviendront claires plus tard, et il n'y a pas de raison de ne pas la différencier. On obtient une différentielle . Ils diront alors sans doute quelque chose comme "par propriété d'adjonction du produit tensoriel" on peut identifier à une fonction ou même et là aussi ils auraient raison.

Le calcul de cette différentielle seconde peut se faire au moyen d'un développement de Taylor s'il en existe un mais dans tous les cas une forme bilinéaire peut être vue comme une matrice symétrique la hessienne de . On peut être tenté d’écrire cela comme un 2-tenseur mais ce serait une erreur ou plutôt cela dépendrait d'identifications implicites que l'on peut faire parce que diable on est sur et que les analystes ne se privent pas de trivialiser tous les fibrés qu'ils peuvent trivialiser. Apres tout c'est comme ça qu'on fait de l'analyse.

Cependant, un géomètre leur retoquerait qu'ils sont quand même un peu cavalier d'écrire que et que lui voit plutôt les choses comme ça, en posant , la differentielle et que s'il veut bien identifier l'arrivée à le départ déjà beaucoup moins et que du coup peut se differencier en effet, mais cela donne .

Alors certes si l'on trivialise tout localement les fibrés tangents se splittent et l'on peut bien sur trouver des cartes locales sur dans lesquelles les coordonnées de seront données par mais il n'en reste pas moins qu'un élément de ca ressemble pas trop à un 2-tenseur. Ça ressemble plus a une 1-forme sur le fibré tangent.

Et on sent bien géométriquement qu'il y a un peu trop de monde sur le fibré tangent pour que ce soit ce qu'on veut. Quand tu te déplaces dans le fibré tangent tu peux te deplacer "horizontalement" de manière transverse aux fibres, cela correspond à déplacement sur ou tu peux te déplacer verticalement dans une fibre ce qui correspond à un déplacement nul sur . Et bien sûr tu peux faire un mélange des deux.

Autrement dit il parait alambiqué de voir ce comme qqch étant un 2-tenseur.

D'ailleurs si on regarde quelles fonctions de transitions on devrait prendre pour donner un sens intrinsèque à sur une variété on s’aperçoit que les candidats ne correspondent pas du tout au groupe des -tenseurs. Du coup on forme un nouveau fibré dont les cocycles correspondent à ces fonctions de transitions. C'est le fibré des 2-jets. C'est un objet subtil mais important.

[AncMath]

Supposons maintenant qu'on veuille changer notre fusil d'épaule et définir la "differentielle seconde" non plus comme un 2-tenseur mais comme une 2-forme. Alors là, on voit comment faire on the nose !

On a notre bonne vieille différentielle où je note l'espace des -formes réelles.

Bien sûr notre enthousiasme est de courte durée puisque l'on voit bien qu'alors la différentielle seconde se doit d’être nulle.

Bon changeons encore une fois notre fusil d'épaule et rappelons nous de l'identification de l'analyste. Le géomètre pour faire une telle identification il sait qu'il a besoin d'un petit gadget supplémentaire : une connexion. Supposons donc qu'on choisisse un fibré et une connexion dessus. Ça peut très bien être le fibré tangent, mais ça coûte pas plus cher de le faire pour un fibré général et c'est même plus simple en fait.

Une connexion sur ca n'est jamais qu'une application qui soit -linéaire et qui satisfasse la règle de Leibniz. Ici est l'espace des p-formes à coefficient dans E.

Maintenant une connexion s'étend naturellement en un opérateur en imposant de satisfaire la règle de Leibniz au sens gradué sur les sections. Cette fois on a bien un élément pour une section de . En fait c'est très facile de voir que cette opérateur est -linéaire et s'identifie donc à une section de . Tu devrais le reconnaître facilement, c'est simplement la courbure. Si E est le fibré tangent c'est un tenseur (1,3).

Si tu prend le fibré trivial qui est le cas qui t’intéresse alors on obtient 0 à nouveau pour !

[AncMath]

Néanmoins il y a bien un lien entre 2-formes et métrique. Mais pour le trouver il faut aller du côté de la géométrie presque complexe. Si tu muni le fibré tangent de ta variété d'une structure presque complexe : un champ d'endomorphisme du fibré tangent satisfaisant . Une telle structure presque complexe se trouve bien sûr sur les variétés complexes. Elle est donnée par la multiplication par . Alors tu as deux structure complexes sur le complexifié du fibré tangent. Et tu peux décomposer celui ci en le sous fibré où les deux structures coïncident et celui où elles anti-coïncident. On les note et respectivement. Dualement tu as la même décomposition sur le fibré co-tangent et sur ces puissances extérieures.

Ainsi tu as une décomposition . C'est alors un petit exercice facile que de vérifier qu'il y a une identification naturelle entre les deux formes réelles de et les formes hermitiennes sur donnée par la partie imaginaire de la forme hermitienne qui la détermine entièrement, autrement dit les métriques hermitiennes sur proviennent toujours de 2-formes réelles de type (1,1).

Ces formes hermitiennes sont en correspondance avec les métriques Riemanniennes qui sont invariantes pour l'action de . Autrement dit une (1,1)-forme réelle te donne une certaine métrique Riemannienne mais tu ne les obtient pas toutes comme cela.

[AncMath]

Oh ! Je me suis aperçu que j'avais oublié un aspect qui en plus sera probablement le plus pertinent vis à vis de ton questionnement !
J'ai écrit

Maintenant une connexion s'étend naturellement en un opérateur en imposant de satisfaire la règle de Leibniz au sens gradué sur les sections.

ce qui est bien ce qu'on regarde en général. Mais tu peux aussi faire opérer ta connexion sur l'algèbre tensorielle au lieu de l'algèbre extérieure. Pour cela il faut quand même une métrique Riemanienne.
Si tu disposes d'une telle métrique notée alors tu obtiens un opérateur qui est vraiment ce qu'on appelle le gradient et qui est caractérisé par pour tout vecteur tangent . Notons
Ta connexion défini aussi un opérateur qui est donné par la règle de Leibniz non graduée cette fois.

Tu peux alors calculer , et tu n'obtiendras pas 0 cette fois ci ! En fait dans le cas de muni de la métrique euclidienne et de la connexion plate associée tu obtiendras la formule classique de la hessienne que tu as donné plus haut. Mais dans le cas général tu n'obtiendras pas cette formule.

[AncMath]

Bon en supposant que ton gradient au carré ait bien la signification donnée dans mon dernier message j'ai essayé de griffonner un peu pour répondre à la question initiale. Il serait temps me diras tu! Et je pense que c'est assez rarement le cas qu'une métrique dérive d'un "potentiel riemannien" tel que tu le définis. J'ai construit plusieurs familles d'exemples où ça marchait mais ce sont des exemples triviaux. Je pense que ca ne peut pas marcher dans le cas général notamment à cause de l'analogie avec le cas hermitien, les métriques hermitiennes qui dérivent d'un tel potentiel ne serait ce que localement sont les métriques kähleriennes et il existe des métriques non kähleriennes !
J'essaierai de construire un contre exemple demain.

[AncMath]

Bon j'ai construit plus qu'un contre exemple. En fait on peut démontrer et c'est facile en plus qu'au voisinage de tout point où la métrique est donnée par la hessienne d'une fonction alors la métrique est isométrique à la métrique euclidienne sur un ouvert de carte. Cela résulte du théorème de Cauchy-Lipschitz.

[mach3]

Merci pour ces réponses, même si je vais probablement mettre des mois à les digérer

m@ch3