Norme d'un covecteur/vecteur et métrique

[fabio123]

Je rencontre un problème dans le calcul de la norme des covecteurs/vecteurs de la base associés aux coordonnées polaires .

Dans une réponse précédemment donnée sur un autre forum, il est m'est indiqué l'implication suivante :

)

avec , <.,.> l crochet de dualité, la 1-forme (covecteur) associée à la coordonnée et le vecteur de base classique.

J'aimerais avoir les détails de savoir comment cette implication est obtenue.

Je comprends la notion de base duale qui se calcule en inversant la matrice représentant la base des vecteurs écrits en "colonne", et une fois cette matrice inversée, les lignes forment la base duale correspondante.

Il m'a été aussi indiqué que pour calculer la norme de , il fallait que je postule une métrique, par exemple la métrique euclidienne qui s'exprime comme :

Sur Matlab, avec un calcul symbolique simple (qui j'avoue n'est pas forcément nécessaire), si je rentre la matrice des covecteurs (chaque ligne correspond à l'expression d'un covecteur exprimé dans la base :

M =
 
[    cos(theta),   sin(theta)]
[ -sin(theta)/r, cos(theta)/r]

avec , de même d'où

et

et en inversant, on a donc les vecteurs de la base duale :

>> simplify(M^-1)
 
ans =
 
[ cos(theta), -r*sin(theta)]
[ sin(theta),  r*cos(theta)]

et on retrouve l'expression des vecteurs sous forme de colonnes et exprimés dans la base

Jusque là, je pense avoir juste. Mais ce que j'aimerais comprendre, c'est comment dire qu'à partir de la définition :



Comment intervient la métrique euclidienne ici choisie dans le calcul de la norme du vecteur de la base ( ) qui est égale à

Ne suffirait-il pas de calculer cette norme en faisant simplement avec le vecteur exprimé dans la base . Peut-être justement la métrique intervient dans l'expression ci-dessus du produit scalaire

Merci par avance pour votre aide.
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[Amanuensis]

Ne suffirait-il pas de calculer cette norme en faisant simplement avec le vecteur exprimé dans la base .

Oui, bien sur.

On a





Donc la norme carrée de est y²+x², soit r². (Et de même la norme carrée vaut 1.)

On peut aussi le voir directement sur la forme métrique:

dx²+dy² = dr²+r²dθ²

Car la norme carrée de est le coefficient de dθ² (donc r²), du fait que et , par définition de la dualité entre bases.

[Amanuensis]

Corrigendum: (fallu beaucoup de lectures avant que je vois l'erreur bête.)

Car la norme carrée de est le coefficient de dθ² (donc r²), du fait que et , par définition de la dualité entre bases.

Lire

Car la norme carrée de est le coefficient de dθ² (donc r²), du fait que et , par définition de la dualité entre bases.