Vecteur gaussien

[invite4308cf33]

Bonjour

Je ne comprends pas un point de l'exercice suivant.

On considère un couple de variables (X,Y) tel que :
.

Quelle est la loi de X ? De Y ? De 6X+3Y ?
Ici, on pose t=0 pour calculer la loi de X.
On pose s=0 pour calculer la loi de Y.
On pose s=6u et t=3u pour calculer la loi de 6X+3Y.

Montrer que .

Et là dans le corrigé ils posent s=2u et t=u+v.
Je comprends bien qu'il nous faut mais je ne trouve pas logique et instinctif le changement de variables.
Je ne le comprends pas. Comment ont-ils fait ? Même en écrivant u=2s+t et v=t, je n'arrive pas à comprendre.

Quelqu'un veut bien m'expliquer ? Merci d'avance !
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[invite4308cf33]

Ah et d'ailleurs si vous pouviez aussi m'expliquer comment à partir de on voit que

Je suis perdue avec les vecteurs gaussiens :/ Merci beaucoup d'avance à ceux qui prendront le temps de m'aider

[invite9dc7b526]

Pour les premières questions il te faut intégrer la fonction caractéristique.

[invite6710ed20]

Bonjour
D'abord je commence par expliquer le changement de variable.

Il est logique parce qu'il faut voir que l'application (X,Y)-----> (X',Y') =(2 X +Y ,Y) est linéaire (donc ce que j'explique est général)

Je continue à expliquer en écrivant les vecteurs en colonnes : On a donc une matrice 2,2 nommée A t.q (X',Y')^t=A (X,Y)^t (ici A=[[2,1],[0,1]])

On cherche la loi du couple donc la fonction caractéristique du couple (X',Y') que l'on veut calculer à partir de celle du couple (X,Y)

c'est à dire qu'on cherche (u,v) t.q E(exp(i (uX'+vY')) =E(exp(i (sX+tY ))

ce qui revient à avoir uX'+vY'=sX+tY . Ecrivons cela matriciellement (u,v)(X',Y')^t=(s,t)(X,Y)^t

En remplaçant (X',Y') cela devient (u,v) A (X,Y)^t=(s,t) (X,Y)^t

Donc il faut (u,v)A=(s,t) ce qui correspond au changement de variable proposé.

De toute façon le changement proposé est donné mais c'est mieux de comprendre d'où il vient.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6710ed20]

Pour la suite j'explique en partie et je te laisse finir.

Avec mes notation du post précédents On cherche la loi du couple (X',Y') dont on connait la fonction caractéristique :
mais on voit que

Ce qui montre X', Y' sont indépendantes et qui explique "les zéros" en dhrs de la diagonale.

Reste à calculer la loi de X' et de Y'
donc

D'après la réponse c'est une loi normale de moyenne 2 et d'écart type 2.

Comme cela me semble standart on peut éviter le calcul de l'intégrale en utilisant des formules toutes faites qui existent peut-être

[invite4308cf33]

Oh super, j'ai tout compris, c'était très clair !! Merci merci merci !
Donc pour trouver la loi de Y', on part de sa fonction caractéristique exp(-v²). On reconnait une loi normale qui a son espérance nulle et son écart-type qui vaut 2.
Et du coup avec Z = (X',Y'), on a E(Z) = ( E(X'), E(Y') ) = (2,0) et la matrice des "covariances" est constituée de deux 2 sur la diagonale. On retrouve donc bien le résultat souhaité ! Merci !