Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

invitebc6ce6b3 · 14/11/2012, 21h30

Posté par gonsp

Bonjour, je suis nouveau sur ce forum et j'aimerais vous faire part d'un problème que j'ai rencontré en maths pour un DM...
Après une longue réflexion (sans mentir environ 3 heures...), après avoir essayer de nombreuses pistes (passant par pythagore, bissectrice, vecteurs....) je n'arrive vraiment pas a trouver le moindre indice qui me permettrais de résoudre ce fameux exercice...
Je précise que je suis en 1ere S SI et que le chapitre que nous étudions et "les vecteurs"

Le voici :

Partie A
1. Tracer dans un même repère les courbes C, C' et D représentant respectivement les fonctions : carré, racine carré et la droite d'équation y=x.
L'ensemble de définition de chacune des fonctions est l'intervalle [0; +∞[
2. Créer un point mobile M sur C. Créer le point M' symétrique de M par rapport à la droite D.

Partie B :
1. Démontrer que si le point M appartient à la courbe C représentant la fonction carré sur l'intervalle [0; +∞[ , son symétrique par rapport à la droite D d'équation y=x appartient à la courbe C' représentant la fonction racine carrée sur l'intervalle [0; +∞[
2. Énoncer la réciproque de cette propriété
3. La réciproque vous paraît-elle vraie? Dans faire de démonstration, énoncer ce qu'il faudra démontrer pour justifier votre réponse

C'est à partir de la partie B que je n'arrive pas...

Merci d'avance pour les plus courageux qui tenteraient le moindre effort pour m'aider !

**PlaneteF** · 14/11/2012, 21h49

Bonsoir,

Soit M(x,y) un point quelconque et M'(x',y') le symétrique de M par rapport à la droite (D).

Soit tu as déjà dans ton cours l'expression des coordonnées de M' en fonction de celles de M, ...

... ou sinon tu peux trouver ce résultat par toi même facilement : Comment peux-tu exprimer cette symétrie par 2 conditions très simples ?

**PlaneteF** · 14/11/2012, 22h01

Envoyé par PlaneteF

Comment peux-tu exprimer cette symétrie par 2 conditions très simples ?

Je rajoute un couple d'indices :

1) Que peux-tu dire du milieu du segment [M,M'] ?

2) Que peux-tu dire de la droite (MM') par rapport à la droite (D) ?

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 07h22

Déjà, merci pour ta réponse!

Les ponts M et M' sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x si et seulement si le milieu du segment MM' appartient à la doire D c'est à dire que son abscisse et son ordonnée sont égales!

Et la droite (MM') est perpendiculaire à (D)!

Mais je ne vois pas où tu veux en venir...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**PlaneteF** · 15/11/2012, 09h10

Envoyé par gonsp

Mais je ne vois pas où tu veux en venir...

Ces 2 conditions (écris les !) te permettent d'exprimer x' et y' en fonction de x et y ! ...

Ne perd pas du vue ce que tu veux démontrer --> Si M(x,y) appartient à (C) alors M'(x',y') appartient à (C').

Donc pour démontrer cela, il faut bien que tu connaisses l'expression de x' et y' en fonction de x et y !

Autre chose (archi-simple) que tu dois exprimer : Si M(x,y) appartient à (C), tu as une relation évidente entre x et y !

Remarque : Pour démontrer que M'(x',y') appartienne à (C') quelle relation suffit-il de vérifier entre x' et y' ?

**PlaneteF** · 15/11/2012, 09h18

Autre remarque :

Envoyé par gonsp

Les ponts M et M' sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x si et seulement si le milieu du segment MM' appartient à la doire D c'est à dire que son abscisse et son ordonnée sont égales!

Et la droite (MM') est perpendiculaire à (D)!

Autre remarque en plus de mon message précédent :

Le "si et seulement si" doit regrouper les 2 conditions, car la condition concernant le milieu est nécessaire, mais pas suffisante, ... tu as d'ailleurs toi-même précisé une 2^nde condition à vérifier

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 10h00

Justement je ne vois pas comment mettre en relation x, y et x', y'....

**PlaneteF** · 15/11/2012, 10h26

Envoyé par gonsp

Justement je ne vois pas comment mettre en relation x, y et x', y'....

1) Exprime explicitement les coordonnées du milieu de [M,M']. Ensuite exprime que ce milieu appartient à (D).

2) Pour exprimer que (MM') et (D) sont perpendiculaires, utilise une propriété très connue du produit scalaire à ce sujet.

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 13h03

Tu vas me prendre pour un c** mais je ne vois pas...

Et le produit scalaire, nous l'avons pas encore vu...

**PlaneteF** · 15/11/2012, 13h20

Envoyé par gonsp

Tu vas me prendre pour un c** (...)

Non ce n'est pas le genre de la maison !

Envoyé par gonsp

(...) mais je ne vois pas...

Les coordonnées du milieu d'un segment $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$

Envoyé par gonsp

Et le produit scalaire, nous l'avons pas encore vu...

Ben sinon, tu connais les coordonnées d'un vecteur perpendiculaire à un autre vecteur donné $\text{[math]}$ ?

Cliquez pour afficher

Et du coup, $\text{[math]}$ est parallèle au vecteur perpendiculaire au vecteur directeur de la droite $\text{[math]}$ .

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 18h27

Et ça? je ne comprend pas à quoi ça nous avance :/

**PlaneteF** · 15/11/2012, 20h02

Envoyé par gonsp

Et ça? je ne comprend pas à quoi ça nous avance :/

Es-tu arrivé à exprimer que le milieu de $\text{[math]}$ appartient à $\text{[math]}$ ? --> Cela va te donner une 1^ère équation.

Pour la 2^e équation à obtenir :

1) Tu pars d'un vecteur directeur de $\text{[math]}$ ;

2) Ce qui te permets de donner un vecteur orthogonal à ce vecteur directeur (cf. message#10) ;

3) Tu exprimes que ce nouveau vecteur et $\text{[math]}$ sont colinéaires --> Ce qui te donne la 2^e équation.

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 21h25

Mais on le sait déjà que le milieu de M, M' appartient à D!

Ca m'enerve vraiment de ne pas voir où tout cela nous emmène...

En plus c'est à rendre pour demain

**PlaneteF** · 15/11/2012, 22h02

Envoyé par gonsp

Mais on le sait déjà que le milieu de M, M' appartient à D!

Il ne suffit pas de le dire avec des mots en Français, maintenant il faut l'exprimer avec une équation.

Envoyé par gonsp

Ca m'enerve vraiment de ne pas voir où tout cela nous emmène...

En plus c'est à rendre pour demain

Je t'ai donné 99,99% des indications qui te permettent de faire la démonstration ... Mais tu ne proposes aucune réponse, ... c'est donc difficile de voir où tu bloques et de t'aider !

Quelles sont les coordonnées du milieu de [M,M'] ? ... Peux-tu répondre à cette simple question ?!

Envoyé par gonsp

En plus c'est à rendre pour demain

T'inquiète, si tu suis les conseils, cet exo prend 2 minutes maxi ...

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 22h24

[{(xM+yM'^2)/2}; {(xM^2+yM')/2}] ?

**PlaneteF** · 15/11/2012, 22h34

Envoyé par gonsp

[{(xM+yM'^2)/2}; {(xM^2+yM')/2}] ?

Hein ?? ...

Je t'ai donné dans le message#10 les coordonnées du milieu d'un segment :

Donc en appliquant cela aux 2 points $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , le milieu de $\text{[math]}$ a pour coordonnées $\text{[math]}$

Maintenant il faut exprimer que ce point appartient à la droite d'équation $\text{[math]}$ ^(*)

^(*) Si un point $\text{[math]}$ appartient à la droite d'équation $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 22h57

(x+x')/2=(y+y')/2

**PlaneteF** · 15/11/2012, 23h37

Envoyé par gonsp

(x+x')/2=(y+y')/2

Oui c'est çà, ce qui donne donc comme 1^ère équation : x+x'=y+y'

Maintenant, pour la 2^e équation : Quel est un vecteur directeur de la droite y=x ?

invitebc6ce6b3 · 15/11/2012, 23h45

[-((y+y')/2); (x+x')/2] ?

**PlaneteF** · 16/11/2012, 00h18

Envoyé par gonsp

[-((y+y')/2); (x+x')/2] ?

Non, tu n'y es pas du tout :

Un vecteur directeur de la droite d'équation $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ , et donc un vecteur orthogonal à cette droite est $\text{[math]}$ ...

Maintenant il faut exprimer que ce vecteur $\text{[math]}$ est colinéaire à $\text{[math]}$

invitebc6ce6b3 · 16/11/2012, 01h00

Et bien la je ne vous pas du tout :/

**PlaneteF** · 16/11/2012, 01h47

Envoyé par gonsp

Et bien la je ne vous pas du tout :/

2 vecteurs $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont colinéaires si et seulement si $\text{[math]}$ ... Tu ne connais pas cette propriété

invitebc6ce6b3 · 16/11/2012, 08h22

MM'[(x'-x); (y'-y)]

[x'-x*1]-[(y'-y)*-1]

**PlaneteF** · 16/11/2012, 09h35

Envoyé par gonsp

MM'[(x'-x); (y'-y)]

[x'-x*1]-[(y'-y)*-1]

Il manque des parenthèses, ... et il faut aussi préciser que cela est égal à $\text{[math]}$ ...

Donc si l'on récapépète, on a le système suivant :

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Avec cela tu vas donc pouvoir trouver très facilement $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en fonction de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Ainsi avec ce résultat, tu seras capable pour tout point $\text{[math]}$ de donner les coordonnées de son symétrique par rapport à $\text{[math]}$ , ... et donc de démontrer immédiatement ce que demande l'énoncé !

invitebc6ce6b3 · 16/11/2012, 11h59

x'+y'=x+y?

**PlaneteF** · 16/11/2012, 12h35

Envoyé par gonsp

x'+y'=x+y?

Là tu ne fais que réécrire la 2^e équation, ... et à quoi servirait alors la 1^ère ?!!

Il faut exprimer x' et y' en fonction de x et y, ... donc cela revient à prendre x' et y' comme inconnues, et x et y comme paramètres, ...

Donc tu as à résoudre un simple et classique système de 2 équations linéaires à 2 inconnues.

invitebc6ce6b3 · 16/11/2012, 12h54

x'=y/2
y'=x ?

**PlaneteF** · 16/11/2012, 13h22

Envoyé par gonsp

x'=y/2

Non ...

Envoyé par gonsp

y'=x

Oui !

invitebc6ce6b3 · 16/11/2012, 13h27

x' = y ???

**PlaneteF** · 16/11/2012, 14h29

Envoyé par gonsp

x' = y ???

Oui ... donc on a au finish, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , ce qui revient à intervertir les coordonnées !

Donc le symétrique du point $\text{[math]}$ par rapport à la droite d'équation $\text{[math]}$ est le point $\text{[math]}$ .

Tu peux d'ailleurs le vérifier graphiquement, prend par exemple $\text{[math]}$ , son symétrique est bien $\text{[math]}$ .

Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Re : Fonction carré, fonction racine carrée, symétrie

Discussions similaires

Primitive de la racine carrée d'une fonction

Dérivée d'une fonction composée avec racine carrée d'une fonction au dénominateur

Signe du fonction racine carrée

Fonction racine carrée et fonction cube

Fonction racine carrée de x