Raisonnement par récurrence fausse d'une suite .

[invite4109e134]

Bonjour ,
J'aimerai comprendre quelque chose.
J' apprend en ce moment le raisonnement par récurrence des suites arithmétiques et géométrique.

1/ Qu'elle est la nature d'une suite arithmétique plus un example mais également pour une géométrique avec également ex-ample.

2/Je remarque à chaque fois le même type d'énoncé :

Démontrer/prouver qu'une suite /objet propriété ,proposition etc . . .
(u_n)) est vrai pour tout n de l'ensemble des entiers Naturel 'N'.
sachant que u_n=1/(n-5) (déja on vois de suite que ça marche
pas pour 5 //mais c'est pas dans l'énoncé )oups ou tampis).

Je suis une personne avec un raisonnement peut-être trop carré mais moi j’entends par cet énoncé qu'il faut relever un défit et depuis

le début (environs 10-12 exos ou + que j'ai fait et lus les corrigé ) j'ai :
1/Initialisation : u₀=x =VRAI ,avec x appartient aux réels (dans l'example : u₀=-1/5)
2/Hérédité : u_n+1=<expression avec n> qui signifie que dalle pourtant à chaque fois l'étape 2 est =Vrai (dans l'example u_n+1=1/(n+1-5)<=> u_n+1=1/(n-4)
3/Conclusion 1/ et 2/ =Vrai donc l'objet (u_n) est blabla =Vrai

Pour moi si il n'y a pas de piège la vie est belle ??Pourtant on croit qu'en factorisant l'expression l'hérédité est vrai hors içi pour n=5 la démonstration deviens anti-démonstration ce qui me parait une trouvaille

et j'aimerais qu'on me dise conpte tenu de ce que j'ai écris plus haut (avec n=5) si on peu rencontrer ce type de démonstration : 1/initialisation = vrai
2/hérédité = Faux 3/conclusion La propriété P(n) est Fausse

Merci pour votre aide !
-----

[invite621f0bb4]

Heu... En gros tu veux juste savoir si un tel cas de figure est possible ? :
1/initialisation = vrai
2/hérédité = Faux 3/conclusion La propriété P(n) est Fausse

Si c'est ça oui, c'est évidemment possible
J'ai pas d'exemples là sous la main mais il en existe beaucoup

Mais je crois que tu confonds raisonnement par récurrence et l'ensemble sur lequel la suite existe qui sont deux choses tout à fait différente...
On peut pas te demander : "démontrer que la suite est vraie pour tout n" par exemple

[invite4109e134]

@Samuel9-14

Je crois qu'on viens de toucher un point :
Quote:

J'ai pas d'exemples là sous la main

Justement je mettrai en résolu qu'en j'aurais des examples.

Quote:

mais il en existe beaucoup

J'en trouve nulle part malheureusement : dans google j'ai essayé plusieurs notations mais ras!

Je cherchais donc en fait un exemple de démonstration qu'une suite est fausse avec raisonnement par récurrence .

A++

[invite4109e134]

On peut pas te demander : "démontrer que la suite est vraie pour tout n" par exemple

Pourtant je te donne un example de mon bouc. de math :

On considère la suite (u_n) définie sur N par :
u₀=2 et pour tout entier naturel n, u_n+1=2u_n-3
Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n, u_n=3-2ⁿ. . . est Vrai.. <= içi

Merci

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite03f2c9c5]

Bonjour, tu confonds nombre et proposition. Cela n’a aucun sens de dire qu’une suite est vraie ou fausse, c’est juste une liste de nombres. Ce qui est une proposition mathématique (qu’on peut noter P(n)), c’est celle qui affirme que le terme général de la suite est donné par une certaine formule.

Autre confusion dans ton message initial : « le raisonnement par récurrence des suites arithmétiques et géométriques », ça ne veut rien dire non plus. Il y a le raisonnement par récurrence, qui est un type de raisonnement, qu’on peut entre autres ensuite appliquer pour prouver certaines formules concernant les suites arithmétiques, ou d’autres sur les suites géométriques.

De même, ta première question ne veut rien dire de précis (le mot « nature » est vague). Quand, au lycée, on demande la nature d’une suite, on attend souvent comme réponse « arithmétique » ou « géométrique », mais demander la nature d’une suite arithmétique, c’est du coup comme demander la couleur d’un cheval blanc !

Bref, tu as sans doute besoin d’encore un peu de temps pour bien comprendre toutes ces notions, qui ne sont pas forcément faciles. Et c’est hélas difficile de répondre à tes questions précisément, car tes soucis viennent plus d’une compréhension vague de l’ensemble que d’une difficulté sur un point précis.

Cordialement.

[invite621f0bb4]

Rien à ajouter par rapport à DSCH, ton dernier message ne justifie en rien ton premier message.
Pour l'exemple, j'en avais bien un en tête mais bon, j'avais surtout la flemme de le donner.
Par exemple, on peut te demander de supposer une forme explicite d'une suite.
U_n+1=Un +5 avec U₀=1
Dans ce cas tu supposes une forme explicite que tu veux démontrer par récurrence.
Soit 3ⁿ la forme explicite supposée.
Tu démontres avec :
Initialisation : pour n=0. 3⁰=1
Hérédité : Tu peux trouves 3²=9. Or U₂=0+5 =9

Donc la propirété est vraie au plus petit rang n, mais elle est fausse au rang n+1. Elle n'est pas héréditaire.

[invite4109e134]

@DSCH

Cela n’a aucun sens de dire qu’une suite est vraie ou fausse, c’est juste une liste de nombres.

Donc une suite (parfois nommée séquence1) est une famille(ou suite je rajoute) d'éléments indexée par les entiers naturels.(wiki) = j'assimile

Ce qui est une proposition mathématique (qu’on peut noter P(n)), c’est celle qui affirme que le terme général de la suite est donné par une certaine formule.

Donc on pourra dire qu'il y aura proposition (ou que celle-ci sera vrai), lorsque qu'une formule sera générée pour le terme général noté couramment u_n. Merci de m'infirmer si j'ai tord

Le truc c'est que c'est pas si simple de si retrouver ,les démonstrations par récurrences ne sont pas toujours donné de la sorte :

exémontrer que pour tout entier n=[4,inf.] : 2n >= n2

Donc c'est plutôt abstrait pour la présentation de la proposition ?? à résoudre avec raisonnement par récurrence .Et pratiquement tous mes exos sont comme ça sauf un qui est formidablement bien résumé par la citation plus haut:

On considère la suite u(n) définie sur N par :
u0=1 et pour tout entier naturel n , u_n+1=u_n/rac(u_n+1+1) // racine carré

rac

Exprimer son terme général u_n en fonction de n.

@Samuel9-14

Par exemple, on peut te demander de supposer une forme explicite d'une suite.
Un+1=Un +5 avec U0=1
Dans ce cas tu supposes une forme explicite que tu veux démontrer par récurrence.
Soit 3n la forme explicite supposée.
Tu démontres avec :
Initialisation : pour n=0. 30=1
Hérédité : Tu peux trouves 32=9. Or U2=0+5 =9

Comme je le dis plus haut la façon de l'énoncé est plutôt abstrait ou mal énoncé mais je pense pas comme la plupart des exos de mes deux livres.

Je comprend pas par exemple "de supposer / tu suppose" . . .que la proposition est vrai ou fausse j'imagine

Donc je pense :
terme général U_n de la suite donné par la formule 3ⁿ

Donc on a u0=1 (Vrai=Youpi) u1=6 u2=11 u3=16 : un peu de pratique !!!!
et donc u_n=5n+1
<=>
u_n-1=5(n-1) +1 (Vrai ou Youpi)

Voila ainsi donc ceci cela signifie que la proposition u_n is True
Merci la France

En faite je préfère Le C ou C++ C+Facile

Je crois que j'ai toujours rien compris de dire que si pour deux séquences(rangs termes etc...) Vrai alors La proposition est VRAI de plus on rappel toujours ou du moins souvent ou encore généralement dans mes exos que c'est pour tt. n app. à N

PS :J'aimerai bien qu'on m'indique le bouton pour les symbols de math.MErci

A++