Intégrale

[invite89e98d85]

Bonjour,
je connais ce que veut dire l'intégrale , mais je ne comprend pas d'où vient cette formule

aidez moi svp
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[gg0]

Ton message est un peu contradictoire.

La formule que tu cites est la définition généralement employée au lycée. Donc si tu sais ce qu'est une intégrale, tu la connais.
A moins que tu aies une autre définition de l'intégrale, que tu vas nous donner pour qu'on puisse t'aider.

Rappel : la formule

n'a de sens que si f a une primitive F.

Cordialement.

[invite89e98d85]

à ce que je sais , l'intégrale de f entre a et b est l'aire de la partie comprise entre la courbe de f , les droites y=0 , x=a et x=b (pour f(x)>0 , traitons au début ce cas, ensuite je pourrais comprendre les autres tout seul ) , donc pour calculer cette aire , il faut additionner les f(x) pour tout x appartenant à [a,b] , et je comprend pas d'où sort cette formule de primitive.
merci

[gg0]

Bon,

tu as une définition fausse (si f est négative, ou change de signe sur l'intervalle).

Mais restreignons nous aux fonctions positives continues sur [a,b]. On définit une fonction G ainsi : Pour tout t entre a et b, G(t) est l'aire située entre la courbe de f, l'axe des x, et les droites d'équations x=a et x=t (fais un dessin.
En considérant G(t+h)-G(t) qui est l'aire située entre la courbe de f, l'axe des x, et les droites d'équations x=t et x=t+h, on voit intuitivement que la limite de (G(t+h)-G(t))/h quand h tend vers 0 est f(t). Donc G est une primitive de f.
L'aire entre a et b est donc G(b).
Soit maintenant une autre primitive F de f sur [a,b] (il y en a une infinité, de la forme G(t)+C) :
F(x)=G(x)+C
Comme G(a)=0, F(a)=0+C=C donc G(x)=F(x)-F(a).
L'intégrale est donc G(b)=F(b)-F(a).

Il y a un passage intuitif qu'on ne peut éliminer sans définir très précisément ce qu'est une aire. On le fait en supérieur, avec des mathématiques plus élaborées (Intégrale de Riemann, henstock ou Lebesgue).
Et il reste à traiter le cas des fonctions quelconques.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]