Image d'un cercle Nombres Complexes

[invite2f6def43]

Bonsoir,

J'ai un exercice a faire, mais je n'arrive pas à répondre a la dernière question !

L'énoncé est :
Soit l'image d'un nombre complexe z donné par z' = (z+2i) / (z-1), z différent de 1

Et la dernière question est :
6) a_ Démontrer que |f(z)-1|*|z-1| = racine(5). OK
b_ Déterminer l'image par z' du cercle C de centre M d'affixe 1 et de rayon R.

M est d'affixe 1 donc en gros M est de coordonnées (1,0). L'équation du cercle de centre M et de rayon R est (x+1)² + y² = R²
Mais à partir de la je ne sais pas quoi faire...
De plus sachant que la question 6 est divisée en 2 sous questions, je me dit qu'il faut peut être utiliser le a_ d'une certaine manière, mais je ne vois vraiment pas comment :/

Merci d'avance !
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[PlaneteF]

M est d'affixe 1 donc en gros M est de coordonnées (1,0). L'équation du cercle de centre M et de rayon R est (x+1)² + y² = R²

Bonsoir,

Il y a une petite erreur de signe ton équation de cercle, ... mais de toute manière tu n'en as pas besoin.

Comment exprimes-tu géométriquement que le point Z (d'affixe z) appartient au cercle de centre M et de rayon R ?

[invite2f6def43]

Bonsoir,

Il y a une petite erreur de signe ton équation de cercle, ... mais de toute manière tu n'en as pas besoin.

Oui j'ai fait une petite erreur de signe ^^.

Pour répondre à ta question, ayant peu de connaissances en nombres complexes je ne saurais pas trop répondre. Mais je dirais que la distance au rayon doit être égale a R, donc... |Z - Z_M| = R ? Mais je vois pas ou je vais en fait ^^.

[PlaneteF]

Mais je dirais que la distance au rayon doit être égale a R, donc... |Z - Z_M| = R ? Mais je vois pas ou je vais en fait ^^.

Tu connais z_M, donc remplace le, ... puis fait le rapprochement avec la question 6)a) !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f6def43]

J'ai du mal :S

|Z - Z_M| = R
<=> |Z-1| = R je pose Z=a +ib
<=> |(a-1) + ib| = R
<=> (a-1)² + b² = R²
<=> a² - 2a +1 +b² = R²

Et la je ne vois pas ce que je fais ensuite. Enfin comment faire le lien avec z'.
Est ce qu'il faudrait isoler b et ensuite remplacer sa valeur dans z' ?

[PlaneteF]

<=> |Z-1| = R je pose Z=a +ib

Ne pose pas z=a+ib c'est inutile ... remplace |z-1| par R dans le formule du 6)a) et c'est terminé !

[invite2f6def43]

Oui... j'ai cherché compliqué !

Donc pour résumer la distance au rayon doit être égale a R, soit |Z - Z_M| = R. Or Z_M=1 donc |Z - 1| = R.
On remplace dans le 6)a_ et cela nous donne :
|f(z)-1|*R = rac(5).
Je ne vois pas quoi en dire

Si je développe, on a
<=> (|1+2i| / |z-1|) *R = rac(5)
<=> rac(5)=rac(5). C'est inutile.

Je me sens bête

[PlaneteF]

|f(z)-1|*R = rac(5).
Je ne vois pas quoi en dire

Je te laisse faire l'interprétation géométrique.

[invite2f6def43]

Je te laisse faire l'interprétation géométrique.

Décidément, ce doit être la fatigue. Merci, j'ai compris !