Problèmes "avancés" sur les polynomes

[invitee06dd347]

Bonjour,

Je suis étudiant ingénieur et je donne des cours particuliers à des élèves du secondaire.

Lors de mon dernier cours, j'ai bloqué sur 1 exercice concernant les polynômes. Comme je déteste faire perdre le temps de mes élèves en restant coincé sur quelque chose et que je ne trouve pas professionnel du tout de laisser un exercice non résolu (bien qu'il soit probable qu'on ne lui demande pas de résoudre ça à ses futures interros) je me suis dit que j'irais demander conseils a des "pros" des math.

Je vous présenterai l'exercice ainsi que les pistes qui me sont venues pour les résoudre.

1) les restes des divisions du polynôme p(x) par x-1 et x-2 sont respectivement 2 et 6. Calculez le reste de la division du polynôme p(x) par (x-1)(x-2).
sol : 4x-2

Mon idée était la suivante, écrire les 2 équivalences qui existent pour chaque division et d'essayer de les combiner pour faire apparaitre (x-1)(x-2)

p(x) = d(x)*q(x)+R

p(x) = (x-1)*q₁(x) + 2
p(x) = (x-2)*q₂(x) + 6

et de multiplier les équations entre elle ou en tout cas les combiner pour obtenir (x-1)*(x-2) mais je ne vois pas trop comment le faire.

Auriez vous des idées de comment faire ?

Merci d'avance,
Nicolas
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[gg0]

Bonsoir.

Le plus simple est d'écrire formellement la division par (x-1)(x-2), qui est de degré 2 :
P(x)= Q(x)(x-1)(x-2) +ax+b
Puis de remplacer x par 1, puis 2, ce qui donne un système d'équations d'inconnues a et b.

Cordialement.

[invitea3eb043e]

Simple aussi : p(x) = (x-1) q1(x) + 2 et p(x) = (x-2)q2(x) +6
On multiplie la 1ère par (x-2) et la 2ème par (x-1) et on retranche. Ca donne : p(x) = (x-1).(x-2) [q2(x) - q1(x)] + 4 x - 2 et c'est bouclé.

[invitee06dd347]

Merci à vous 2 !

[A voir en vidéo sur Futura]