Exercice arithmétique

[invite5384ce76]

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.
Soit n un entier naturel non nul
1) On considère l’équation notée (E) : 3x + 7y = 10²ⁿ où x et y sont des entiers relatifs
a-/ Déterminer un couple (u, v) d’entiers relatifs tels que 3 u + 7 v = 1
En déduire une solution particulière (x0 , y0) de l’équation (E)
b-/ Déterminer alors l’ensemble des solutions dans ℤ × ℤ de l’équation (E).
2) On considère l’équation notée (G) : 3x² + 7y² = 10²ⁿ où x et y sont des entiers relatifs
a-/ Montrer que 100ⁿ ≡ 2ⁿ (mod 7)
b-/ Démontrer que si (x, y) est solution de G alors 3 x² ≡ 2ⁿ (mod 7)
c-/ Reproduire et compléter le tableau suivant :
Le reste modulo 7 de x 0 1 2 3 4 5 6
Le reste modulo 7 de 3x²
d-/ Démontrer que 2ⁿ est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7
En déduire que l’équation (G) n’admet pas de solution.

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[PlaneteF]

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