Lever les indeterminations

invitee68598ae · 04/02/2013, 00h06

Bonsoir, on m'a donné un exercice où il faut calculer des limites ayant des formes indéterminé :

a/ $\text{[math]}$

b/ $\text{[math]}$

c/ $\text{[math]}$

d/ $\text{[math]}$

e/ $\text{[math]}$

f/ $\text{[math]}$

Pour se faire j'ai essayé de m'aider de ce site : http://limite.cours-de-math.eu/exerc...e-debutant.php

Donc voici ce que j'ai fais :

a/ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Forme indéterminé

Par rapport au site, dans ces cas là on commence par mettre le terme du plus gros degré en facteur
Soit :
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Et ensuite j'ai essayer de factoriser un peu plus mais je ne pense pas que ça servent à grand chose
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Selon le site il faut remplacer tous les x par $\text{[math]}$ ce qui me retourne sur la forme $\text{[math]}$
Je ne sais pas comment ils font pour obtenir une forme fractionnaire de la plupart des termes...

b/ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Forme indéterminé

Selon la question précédente :
$\text{[math]}$

J'essaye cette fois la règle de l’hôpital

Soit
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Impossible, on redérive donc

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

J'ai essayé de déterminer la limite à la calculatrice et je trouve -2, je pense donc que je me suis trompé quelque part

Je mettrai la suite demain, si vous pouvez m'aiguiller sur ce qui ne va pas dans mon raisonnement (je ne vous demande pas de faire l'exercice) je vous en remercierai grandement.

**PlaneteF** · 04/02/2013, 01h13

Bonsoir,

Envoyé par TroisPlusQuatre

Par rapport au site, dans ces cas là on commence par mettre le terme du plus gros degré en facteur

Et ben pourquoi tu ne le fais pas réellement

... Met donc $\text{[math]}$ en facteur au numérateur et dénominateur, et le résultat est immédiat !

Envoyé par TroisPlusQuatre

J'essaye cette fois la règle de l’hôpital

Pourquoi pas, encore faut-il l'appliquer correctement.

Ou sinon, tout simplement, met $\text{[math]}$ en facteur au numérateur et dénominateur, et le résultat est immédiat aussi !

**PlaneteF** · 04/02/2013, 01h21

Envoyé par PlaneteF

Ou sinon, tout simplement, met $\text{[math]}$ en facteur au numérateur et dénominateur, et le résultat est immédiat aussi !

C'est d'ailleurs ce que tu as fait (en compliquant inutilement le dénominateur), et tu as alors le résultat sous tes yeux et donc je ne vois pas pourquoi tu ne conclus pas immédiatement

**PlaneteF** · 04/02/2013, 03h13

Envoyé par TroisPlusQuatre

J'essaye cette fois la règle de l’hôpital

Sauf que la règle de l'Hôpital s'applique pour les formes indéterminées du type $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$ , ... ce qui n'est pas le cas dans ce que tu fais, puisque tu appliques cette règle sur des formes qui ne sont pas indéterminées du tout !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaf48d29f · 04/02/2013, 07h08

Bonjour,

Le terme de plus haut degré c'est x³, pas x. Vous aurez des puissances de 1/x au numérateur et au dénominateur, mais vous verrez que ce n'est pas grave.

invitee68598ae · 04/02/2013, 13h13

Envoyé par S321

Bonjour,

Le terme de plus haut degré c'est x³, pas x. Vous aurez des puissances de 1/x au numérateur et au dénominateur, mais vous verrez que ce n'est pas grave.

J'y ait pensé en regardant cette page http://limite.cours-de-math.eu/terme-plus-hautdegre.php mais je n'ai pas compris comment on faisait pour obtenir des nombres fractionnaires dans les parenthèses.

$\text{[math]}$

On devrait normalement obtenir quelque chose sous la forme :

$\text{[math]}$

Les blancs ( [?] ) c'est parce que j'ignore quoi mettre au dénominateur, si vous pouviez m'expliquer le raisonnement à appliquer dans mon cas ou sur l'exemple proposé sur le site je vous serrai une fois de plus reconnaissant

PlaneteF que veux tu dire par le fait que la règle de l’hôpital est mal appliqué ou que je ne suis pas en présence de forme indéterminé ?

inviteaf48d29f · 04/02/2013, 13h44

De manière général vous pouvez écrire quelque chose du genre $\text{[math]}$ du moment que x n'est pas nul. Ca ne simplifie pas forcément vos expressions, mais dans tous les cas vous avez le droit.

Donc vous pouvez écrire
$\text{[math]}$
dans votre cas ça donne quelque chose comme
$\text{[math]}$

Vous pouvez alors mettre $\text{[math]}$ en facteur et simplifier les fractions qui vous restent.

**PlaneteF** · 04/02/2013, 13h48

Envoyé par TroisPlusQuatre

$\text{[math]}$

On devrait normalement obtenir quelque chose sous la forme :

$\text{[math]}$

Les blancs ( [?] ) c'est parce que j'ignore quoi mettre au dénominateur, si vous pouviez m'expliquer le raisonnement à appliquer dans mon cas ou sur l'exemple proposé sur le site je vous serrai une fois de plus reconnaissant

Mettre $\text{[math]}$ en facteur dans l'expression $\text{[math]}$ revient à écrire : $\text{[math]}$

Ici $\text{[math]}$

Envoyé par TroisPlusQuatre

PlaneteF que veux tu dire par le fait que la règle de l’hôpital est mal appliqué ou que je ne suis pas en présence de forme indéterminé ?

La première fois que tu appliques la règle de l'Hôpital c'est pour, je te cite : $\text{[math]}$

Quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , où diable

vois-tu une forme indéterminée là dedans

Ensuite tu récidives, tu dis toi-même que tu es en présence d'une limite de type $\text{[math]}$ , ... rebelote, où vois-tu une forme indéterminée là dedans ?!

D'ailleurs tu emploies l'adjectif "impossible" (sic), ... qu'est-ce qui est impossible dans cette histoire

invitee68598ae · 04/02/2013, 13h49

C'est bon j'ai trouvé comment faire, cela fait :

$\text{[math]}$

On retombe sur :

$\text{[math]}$

Et si on remplace les x par des infini

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

La limite de f(x) en +infini est donc 0,5

invitee68598ae · 04/02/2013, 13h50

Désolé j'ai n'ai pas le temps de voir vos réponses il faut que j'y aille, je continue ça se soir, merci !

invitee68598ae · 04/02/2013, 19h39

Envoyé par S321

De manière général vous pouvez écrire quelque chose du genre $\text{[math]}$ du moment que x n'est pas nul. Ca ne simplifie pas forcément vos expressions, mais dans tous les cas vous avez le droit.

Donc vous pouvez écrire
$\text{[math]}$
dans votre cas ça donne quelque chose comme
$\text{[math]}$

Vous pouvez alors mettre $\text{[math]}$ en facteur et simplifier les fractions qui vous restent.

Envoyé par PlaneteF

Mettre $\text{[math]}$ en facteur dans l'expression $\text{[math]}$ revient à écrire : $\text{[math]}$

Ici $\text{[math]}$

Ok je vois, c'est une égalité assez simple en fait, je vais noter ça quelque part, j'ai essayer de bidouiller un peu les formules pour que je tombe sur les mêmes résultat, je pense que c'est toujours bon

Envoyé par PlaneteF

La première fois que tu appliques la règle de l'Hôpital c'est pour, je te cite : $\text{[math]}$

Quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ , où diable

vois-tu une forme indéterminée là dedans

Effectivement je viens de tilter qu'en utilisant la formule trouvée pour le a/ en $\text{[math]}$ je tombais facilement sur $\text{[math]}$ soit ce que je voulais trouver

Envoyé par PlaneteF

Ensuite tu récidives, tu dis toi-même que tu es en présence d'une limite de type $\text{[math]}$ , ... rebelote, où vois-tu une forme indéterminée là dedans ?!

D'ailleurs tu emploies l'adjectif "impossible" (sic), ... qu'est-ce qui est impossible dans cette histoire

Bon j'ai trouver le résultat mais je réponds tout de même :

On m'a toujours dis qu'il fallait éviter les divisions par 0, à moins qu'on ne considère que $\text{[math]}$ ? de plus je ne vois pas pourquoi $\text{[math]}$ serait une forme indéterminé et pas $\text{[math]}$ ?

invite621f0bb4 · 04/02/2013, 19h59

Pour toi 0/0 donne quelque chose d'évident ?
Alors que 1 divisé par un nombre très petit est nécessairement très grand (essaye pour quelques valeurs extrêmement petites, tu verras par toi même

)

invitee68598ae · 04/02/2013, 20h07

Hum, j'ai bien peur de ne pas comprendre

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tendent tous deux vers l'infini ? Combien de valeurs nulle sont comprises dans n'importe quel nombre : une infinité, je ne vois pas pourquoi on devrait différencier les deux

**PlaneteF** · 04/02/2013, 20h50

Envoyé par TroisPlusQuatre

$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tendent tous deux vers l'infini ?

Absolument pas pour la forme $\text{[math]}$

...

Exemple : la limite du $\text{[math]}$ que tu viens de calculer

invitee68598ae · 04/02/2013, 21h04

J'ai effectivement trouvé $\text{[math]}$ pour la première limite ce qui est une forme indéterminée mais j'aurais trouvé $\text{[math]}$ ça aurait été du même acabit, non ?

**PlaneteF** · 04/02/2013, 21h17

Envoyé par TroisPlusQuatre

J'ai effectivement trouvé $\text{[math]}$ pour la première limite ce qui est une forme indéterminée mais j'aurais trouvé $\text{[math]}$ ça aurait été du même acabit, non ?

Ben non pas du tout :

Dans le $\text{[math]}$ tu avais la forme indéterminée $\text{[math]}$ qui une fois levée t'a donné pour limite $\text{[math]}$ , ... dans d'autres cas cette forme te donnera $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ ou bien $\text{[math]}$ ou bien encore $\text{[math]}$

Par contre, dans tous les cas de figure, et si l'on se permet un abus d'écriture : $\text{[math]}$

invitee68598ae · 04/02/2013, 21h48

Je vois, je ne comprends pas très bien comment ça fonctionne mais je suppose que $\text{[math]}$ est une sorte d'exception, merci de vos lumières

Bon pour en revenir à l'exercice et plus spécifiquement au c/

c/ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Forme indéterminée (en tout cas c'est impossible à définir dans l'état)

Soit $\text{[math]}$

Bon après c'est idiot, je ne sais pas comment faire, il me semble qu'il y a quelque chose permettant d'enlever le -1 et le +1 , mais je ne me souviens plus vraiment comment on fait, ensuite on pourrait avoir un dénominateur de 1 en "rassemblant" les deux exponentielle, le ln permettrait alors de se retrouver uniquement avec les valeurs que contenait l'ancien exponentielle... Désolé pour les termes un peu barbare

Bon je vais réessayer pour le coup la règle de l’hôpital, en essayant de déterminer la limite $\text{[math]}$ :

Soit $\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ben ça ne mène à rien, concrètement...

inviteaf48d29f · 04/02/2013, 21h52

Envoyé par PlaneteF

Par contre, dans tous les cas de figure, et si l'on se permet un abus d'écriture : $\text{[math]}$

En fait je dirais plutôt $\text{[math]}$ , on peut faire des abus de notations sur les limites mais il y a des limites aux abus qu'on peut faire !

Jeux de mots mis à part, cette notation résume le fait que si vous avez une quantité de la forme f(u)=1/u avec u qui tend vers 0 par valeurs positives alors on peut dire que f(u) tend vers +∞. Ca se voit très bien si on trace le graphe de la fonction x->1/x et qu'on regarde ce qu'il se passe lorsqu'on s'approche de 0. $\text{[math]}$ c'est un théorème, il n'y a rien d'indéterminé la dedans.

En revanche si vous avez une quantité de la forme u/v où u et v tendent vers 0 vous ne pouvez rien dire avec cette seule information car une telle quantité peut faire n'importe quoi dans le cas général. Lorsque vous vous placez dans un cas particulier et que vous cherchez à déterminer la limite d'une fonction donnée si vous aboutissez à une quantité de la forme 0/0 ça signifie que votre méthode n'a pas aboutit et que vous n'avez toujours pas la possibilité de conclure.
Il n'y a aucune notion d'impossibilité derrière l'idée de forme indéterminée, c'est simplement que vous n'avez pas terminé votre travail et que vous ne savez pas comment se comporte la quantité que vous étudiez.

**PlaneteF** · 04/02/2013, 21h57

Envoyé par TroisPlusQuatre

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Ben ça ne mène à rien, concrètement...

Ben si, cela mène bien à quelque chose, ... que vaut $\text{[math]}$ , et que vaut sa limite quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ ?

A noter que tu peux aussi calculer la limite d'origine en mettant $\text{[math]}$ en facteur au numérateur et dénominateur, avec résultat immédiat.

inviteaf48d29f · 04/02/2013, 21h58

Pour $\text{[math]}$ utilisez la même technique que précédemment, mettez "le plus gros" en facteur. Ne vous laissez pas intimidez sous prétexte que c'est une exponentielle ^^.

**PlaneteF** · 04/02/2013, 22h08

Envoyé par S321

En fait je dirais plutôt $\text{[math]}$ , on peut faire des abus de notations sur les limites mais il y a des limites aux abus qu'on peut faire !

Initialement j'étais parti pour écrire $\text{[math]}$ , ... Mais de toute manière vu que le blocage et les pronlèmes de compréhension de TroisPlusQuatre ne se situent absolument pas à ce niveau là, j'ai abusé l'abus

Cordialement

invitee68598ae · 05/02/2013, 11h58

Envoyé par PlaneteF

Ben si, cela mène bien à quelque chose, ... que vaut $\text{[math]}$ , et que vaut sa limite quand $\text{[math]}$ tend vers $\text{[math]}$ ?

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

D'où :

$\text{[math]}$

Donc la limite de f(x) en $\text{[math]}$ vaut 0

Envoyé par PlaneteF

A noter que tu peux aussi calculer la limite d'origine en mettant $\text{[math]}$ en facteur au numérateur et dénominateur, avec résultat immédiat.

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On remplace ensuite $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

On retrouve bien la limite en 0

Allez je passe à la suite !

invitee68598ae · 05/02/2013, 12h10

d/ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Faut-il que je le prouve ? c'est bien connu que la limite de ln x en 0 tend vers $\text{[math]}$

invitee68598ae · 05/02/2013, 13h00

e/ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

C'est pas ce que je trouve à la calculatrice

f/ $\text{[math]}$

(Bon j'arrive pas à l'afficher correctement mais vous aurez compris que c'est exponentielle de 1 sur x)

$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Forme indéterminée

On va donc mettre le terme de plus haut degré en facteur

$\text{[math]}$
Puis on remplace les x par $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

Hum, bon considérons que x est le terme du plus haut degré

$\text{[math]}$
On remplace maintenant les x par $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

On trouve donc une limite en 0, c'est pas non plus ce que je trouve sur ma calculatrice :/

Si je regarde sur le site il me conseille de ramener au même dénominateur, je ne vois pas trop comment je peux faire vu que je n'ai pas à faire à une division

**gg0** · 05/02/2013, 13h17

Bonjour TroisPlusQuatre.

tant que tu manipuleras des $\text{[math]}$ , tu obtiendras des résultats faux sur les formes indéterminées.
Maintenant, si tu veux calculer des limites avec sérieux et efficacité (*), il faut revenir à un cours de base. Par exemple http://www.apprendre-en-ligne.net/MA...ALY/ANALY1.PDF.
On trouve des "cours" sur Internet qui utilisent sans précaution $\text{[math]}$ , mais ce n'est pas sérieux. Ne serait-ce que parce que c'est une abréviation, pas une notation de limite (contrairement à
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ).

Ta limite e) est actuellement la définition de l'exponentielle en terminale S. Tu le retrouveras en transformant la puissance avec sa définition :
Pour a>0, $\text{[math]}$

Cordialement.

(*) L'efficacité en maths c'est d'avoir le résultat juste en en étant certain.

inviteaf48d29f · 05/02/2013, 19h39

Je n'ai pas grand chose à ajouté de plus que ce que gg0 a déjà dit, juste une petite remarque. Que vous écriviez quelque chose comme
$\text{[math]}$
est symptomatique de vos abus de notations que vous ne maîtrisez pas (il faut d'abord savoir écrire rigoureusement quelque chose avant de se permettre d'abuser pour gagner du temps). L'expression $\text{[math]}$ ne dépend pas de x, c'est une constante. Ça n'a donc plus d'intérêt de calculer la limite de cette expression quand x tend vers quelque chose.

Lorsque vous écrivez $\text{[math]}$ (je précise en passant que vous omettez le symbole "=" et enchaînez d'une ligne à la suite sans dire le lien entre ces lignes) ce que vous voulez dire c'est $\text{[math]}$ .
Par contre vous ne justifiez pas cette égalité et c'est même assez miraculeux qu'elle soit vraie. La plupart du temps lorsque vous arrivez à un résultat faux c'est parce que vous avez écris une égalité de ce genre et que vous n'avez pas eu la chance qu'elle soit juste.

P.S 1^∞ est une forme indéterminée.

**PlaneteF** · 05/02/2013, 21h07

Envoyé par S321

1^∞ est une forme indéterminée.

En même temps ...

Envoyé par S321

(...) on peut faire des abus de notations sur les limites mais il y a des limites aux abus qu'on peut faire !

just kiddin'!

Cordialement

inviteaf48d29f · 05/02/2013, 22h37

Bah en même temps dire que c'est une forme indéterminée ça revient à dire qu'on ne peut rien dire à son propos. Ce n'est pas très grave de faire un abus de notation puisque c'est de toute façon informel. Ce n'est pas pareil que $\text{[math]}$ qui est l'écriture condensée d'un théorème.

Je suis logicien de formation, c'est pas évident de me baiser sur une question de rigueur ^^.

**gg0** · 05/02/2013, 22h44

Je plussoie.

Les notations de formes indéterminées sont des mnémoniques, par des notations de nombres.

Cordialement.

**PlaneteF** · 05/02/2013, 22h56

Envoyé par S321

Je suis logicien de formation, c'est pas évident de me baiser sur une question de rigueur ^^.

Do you know what "just kiddin'!" means in English? (message#27)

Best regards.

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