Démontrer qu'une suite est périodique

[invite062d2c93]

Bonjour à tous,


Concernant un exercice sur les suites, je n'arrive pas à démontrer que la suite est périodique


La suite (Un) est définie, pour tout entier naturel n, par:



a) Calculer les cinq premiers termes de la suite. Que pouvez-vous conjecturer ?
u₁=0 ; u₂=-1 ; u₃=1 ; u₄=0 ; u₅=-1
La suite semble périodique de période 3.

b) Démontrer que pour tout entier natuel n, .
J'ai essayé de substituer en fonction de ensuite substituer en fonction de puis mais je n'arrive jamais à

Une aide charitable serait donc la bienvenue..

Merci par à avance.

Bonne journée
-----

[invite68f2fb17]

Tu prends Un = n
Tu calcule Un+1 en fonction de n, tu développe
De même jusqu'à Un+3 et si tu ne fais pas d'erreur de calcul, tu trouve Un+3 = n = Un

[invite062d2c93]

Pourquoi prendre U_n=n ?

Donc U_n+1 en fonction de n ça donne:

Mais après je ne comprends pas, comment ça développer puis jusqu’à U_n+3 ?

[Tiky]

Bonjour,

Une démonstration par récurrence est très facile.
Tu dois démontrer par récurrence la propriété : .
Ta question a) permet de faire l'initialisation. L'hérédité est triviale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite34b13e1b]

Salut,
Tu as une bonne méthode, il ne reste plus qu'à faire les calculs attentivement:

[invite062d2c93]

Bonjour Tiky,
Oui j'ai remarqué que Un est une suite dite périodique de période 3, mais pour le démontrer comme dit, je n'arrive pas..

[invite68f2fb17]

Tu prends Un = n ou =x si tu préfère parce que x est inconnu, tu ne sait pas sur quel nombre tu travaille.

Ensuite, pour , tu calcule et développe

Si tu développe, ça marchera sans problème normalement

[invite062d2c93]

Bonjour Cleanmen,

J'en suis arrivée à là, mais lors de le simplification, je me trompe et je tombe sur n'importe quoi,
faut-il déjà mettre sur le même dénominateur puis multiplier par l'inverse ou..?

j'arrive à:



puis

en mettant sur le même dénominateur 1 et -1

[shokin]

Il doit y avoir une faute de calcul, j'arrive bien à .



Tu remplaces alors par et simplifies l'expression.

Idem pour

[invite68f2fb17]

Fait comme je t'ai dit et pense à développer à chaque étape, c'est bien plus facile.

[invite062d2c93]

louisdark,

je pars de

puis

et enfin

pour si je prend Un=n alors

je ne comprends pas quoi développer :/

[invite68f2fb17]

Fais-le dans l'autre sens, pars de Un pour aller à Un+3

[invite062d2c93]

shokin,

je ne vois pas ma faute, au début je met sur le même dénominateur puis me multiplie par l'inverse vu que c'est 2 fois diviser et j'arrive au résultat au dessus.

comment procéder pour développer, simplifier ? svp

[invite68f2fb17]

Je te l'ai dit, pars de Un :

Un = n




Développe et continue

[invite062d2c93]

Si je pars de Un avec U_n=n



soit

arrivé à ce stade, comment simplifier, ou développer ?
quand je mets sur le même dénominateur pour ensuite multiplier par l'inverse, je trouve un résultat incorrecte.

[invite68f2fb17]

T'es en quelle classe?


puis développement.

Il faut aussi savoir que

[invite062d2c93]

?

?

[invite062d2c93]

Oui multiplier par l'inverse je sais ça!
Mais quand je mettais sur le même dénominateur pour le premier j'ai oublié une parenthèse pour le signe - et je distribuer le 3(
On peut juste le même au numérateur ?

[shokin]

Tu remplaces alors par et simplifies l'expression.

Il s'agit alors simplement de calcul littéral.















Idem pour

[invite062d2c93]

Avec le calcule de louisdark, j'ai développé et je suis bien tombée sur


mais du passage de là

à là, j'ai un peu de mal à comprendre..

[Tiky]

Bonjour Tiky,
Oui j'ai remarqué que Un est une suite dite périodique de période 3, mais pour le démontrer comme dit, je n'arrive pas..

Je t'ai dit comment faire avec un minimum de calcul.
On veut démontrer par récurrence que :


Pour , c'est fait puisque

Supposons que ce soit vrai pour un rang fixé. C'est-à-dire que
Alors

Tu peux donc conclure avec le principe de récurrence.

[invite062d2c93]

Tiky,
Je crois que je n'ai pas encore vu le principe de récurrence...

[shokin]

Avec le calcule de louisdark, j'ai développé et je suis bien tombée sur


mais du passage de là

à là, j'ai un peu de mal à comprendre..

J'ai simplifié par 2 d'abord.

Ensuite, pour j'ai amplifié (ou simplifié) par (-1).

Quand il y a un signe - juste devant une parenthèse, tous les termes dans cette parenthèse se voient opposés.

(a-b) est donc l'oppposé de (b-a). D'ailleurs, si tu les additionnes, tu obtiens le nombre nul.

[invite062d2c93]

En partant de















après plusieurs calculs, développement, je tombe sur soit U_n ouf!

[invite062d2c93]

J'ai simplifié par 2 d'abord.

Ensuite, pour j'ai amplifié (ou simplifié) par (-1).

Quand il y a un signe - juste devant une parenthèse, tous les termes dans cette parenthèse se voient opposés.

(a-b) est donc l'oppposé de (b-a). D'ailleurs, si tu les additionnes, tu obtiens le nombre nul.

Ah d'accord, c'est plus clair pour moi comme ça
Merci beaucoup!!

[invite02b4986b]

On démontre le résultat par récurrence
On vérifie le résultat au rang 1
U1=U4=0
On admet le résultat au rang n donc
Un= n+3
On le démontre au rang n+1
U(n+1)+3= (U(n+3)-1)/(3(Un+3)+1) or on a Un+3=Un alors U(n+4)= (Un-1)/(3Un+1)=Un+1 d’où le résultat.

[invite02b4986b]

Un= Un+3 alors on doit avoir forcément U(n+4)= U(n+1) et on a démonter que U(n+4)= U(n+1) donc on a Un= Un+3

[gg0]

Un an après ! Est-ce vraiment utile ???

Surtout que Mirelah semblait satisfait