Valeur moyenne et intégrale

[Samuel9-14]

On a débuté aujourd'hui le chapitre sur les intégrales et on a vu une définition de la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle [a,b]. On a donc dit que l'aire définie par le rectangle (délmité par x=a, x=b, y=0 et y=f(valeur moyenne)=intégrale de f(x) sur [a,b]. (Désolé, je connais pas encore le latex approprié ^^)

On en a déduit la définition de la valeur moyenne :

(1/(b-a))*(intégrale de f(x) sur [a,b])

Et quand j'ia demandé au prof si on allait le démontrer ou si ça avait été démontré, il m'a répondu que "c'était comme ça", que c'était une définition qui se suffisait à elle-même (principe d'une définition soit dit en passant).

J'ai du mal à imaginer ça, si toutes les fonctions étudiées sur n'importe quel intervalle vérifie l'égalité, alors on devrait pouvoir le démontrer, non ? Je ne trouve pas cette égalité assez évidente pour admettre ça... Quelqu'un aurait-il des lumières à m'apporter ?
Suis-je à côté de la plaque ? Ai-je mal interprêté la réponse de mon prof ? Bref, merci d'avance ^^
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[gg0]

Bonsoir.

Il y a bien une sorte de "démonstration", mais effectivement, on définit la valeur moyenne de la fonction f, intégrable sur [a,b] par

La "démonstration", ou plutôt l'explication, est que la moyenne doit faire le même "effet" total que la fonction f. Or l'effet d'une fonction sur un intervalle est justement son intégrale. On cherche donc une constante C telle que :

Le calcul donne :

D'où la valeur utilisée dans la définition.

L'intégrale sur C est l'aire (algébrique) du rectangle dont t'a parlé ton prof.

Sinon, inutile de chercher plus loin, il s'agit bien d'une convention. D'ailleurs, que pourrait être d'autre la valeur moyenne ? Au passage : j'ai bien traité ici du cas de n'importe quelle fonction (f est n'importe quelle fonction).

Cordialement.

[S321]

Bonjour,

C'est assez maladroit de votre prof de dire ça ainsi, même s'il a en partie raison.

Grâce à nos connaissances en géométrie on connait l'aire de certaines figures, par exemple on connait l'aire d'un rectangle. Mais la géométrie élémentaire permet de définir ce qu'est l'aire de relativement peu de figures et l'intégration permet de généraliser cette définition, mais il faut tout de même que cette généralisation soit cohérente.
Si on a l'intention de définir ce qu'est l'aire sous une courbe on veut au moins :
* que si notre courbe délimite un rectangle l'aire sous cette courbe soit l'aire du rectangle au sens classique.
* que si une partie A est entièrement contenue dans une partie B du plan alors l'aire de A est plus petite que l'aire de B. Ça se traduira ici que si f≤g alors l'aire sous f doit être plus petite que l'aire sous g.

Normalement vous devriez avoir vu la méthode de Riemann pour définir l'intégration. Vous commencez par regarder les fonctions en escalier. Une fonction en escalier délimite des rectangles et donc l'aire sous une telle fonction c'est la somme des aires des rectangles (jusqu'ici c'est encore de la géométrie, pas de nouvelle définition).

En étudiant l'intégration vous verrez des théorèmes qui dirons qu'une fonction f qui est continue par morceau (par exemple) est intégrable c'est à dire qu'on peut trouver des fonctions en escaliers qui approchent f autant qu'on veut.

Plus formellement il va exister pour chaque entier n des fonctions u_n et v_n en escalier telles que u_n<f<v_n et telles que |A(u_n)-A(v_n)|<1/n où je note par A(g) l'aire délimité par une certaine fonction en escalier g. Par le théorème des gendarmes on voit que les aires des fonctions en escalier qui encadrent f vont converger vers un nombre qui ne dépend que de f et on pose comme définition de l'aire sous f comme étant ce nombre.

En utilisant des encadrements de plus en plus précis de la surface délimité par f en utilisant des surfaces dont l'aire est connue on parvient à définir un nombre qui vérifie bien toutes les propriétés qu'on attend d'une aire.

Ensuite pour ce qui est de la valeur moyenne C d'une fonction f, c'est le nombre tel que la fonction x->C délimite une surface de même aire que f (sur l'intervalle considéré).

[Samuel9-14]

OK, on n'a pas vu la méthode de Riemann mais je crois avoir compris le principe de tout ça en tout cas

Cependant quelque chose m'intérepelle dans ce que tu as dit gg0 : Une convention ne se démontre pas ? "il s'agit bien d'une convention".
En lycée on nous dit que a⁰=1. Pourtant Médiat a créé un sujet dans "Mathématiques du supérieur" pour expliquer cette convention.
En gros une convention ne se démontre pas mais s'explique ? (comme tu m'as expliqué la convention que l'on m'a faite écrire en cours)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Oui,

effectivement, une convention ne se démontre pas (démontrerais-tu le choix de Samuel9-14 pour ton pseudo ?) Assez souvent on peut l'expliquer, si c'est vraiment nécessaire. Ici, c'était nécessaire pour toi.
De même, aucune preuve de a⁰=1 ne peut être donnée globalement (il existe des preuves dans certaines théories limitées, ayant leur propre définition de a^b) si on se réfère aux définitions "classiques" (celles du lycée). Mais cette convention est pratique et utilisable dans toutes les situations connues (sauf parfois pour a=0).

Cordialement.

[Samuel9-14]

Ha donc c'est pour ça que Medait avait fait un sujet sur 0⁰ et non a⁰ ^^

En parlant de a⁰=1 (je profite de ce sujet pour lever toutes mes interrogations ^^), ce n'est pas le démontrer que de dire :
a^b=a⁰*a^b (d'après la propirété de 4ème).
Si l'égalité précédente est vraie, alors il est évident que a⁰=1. or l'égalité est vraie (d'après donc la propriété de 4ème), donc a⁰=1.

Une telel réflexion est de quelle ordre ? Démonstration ? explication ? Ou, plus probablement , ça ne sert à rien ?

[S321]

En parlant de a⁰=1 (je profite de ce sujet pour lever toutes mes interrogations ^^), ce n'est pas le démontrer que de dire :
a^b=a⁰*a^b (d'après la propirété de 4ème).

Sauf que vous ne pouvez pas démontrer cette égalité si vous ne définissez pas ce qu'est a⁰. On pose a⁰=1 de manière à s'assurer que la règle a^n+m=aⁿ*a^m soit vraie pour tous entiers n et m.

Attention à ne pas faire des raisonnements qui se mordent la queue.

[Samuel9-14]

Donc c'est parce que a⁰=1 que la règle a_n+m=aⁿ*a^m se vérifie pour n=0 ?
En tout cas merci à vous deux pour vos réponses

[gg0]

En maths,

la différence entre démonstration et application est nette. Une démonstration utilise un certain nombre d'hypothèses, puis l'application des règles de logique (classique) et de mathématiques (courante; conventionnelles). Le reste des argumentations est de l'explication.

Par exemple, pour a⁰ =1, ce que tu as rédigé est un résumé de démonstration :
Hypothèse : a est un réel non nul
Règle (mal posée) : Pour tout réel x et tous entiers m et n, x^m+n=x^m xⁿ.
Règle : a¹=a
Corps de la preuve : on prend x=a, m=0, n=1 et on obtient a¹=a⁰ a¹ donc a = a⁰ a, et on simplifie par a (non nul).
Conclusion a⁰=1.

Deux problèmes : La règle est fausse (mais facile à rectifier); mais surtout, pour l'établir on a habituellement utilisé la conclusion (par exemple défini pour n>=0 les puissances n-ième par récurrence à partir de a⁰=1 et aⁿ⁺¹=aⁿ a).
Cependant, on aurait pu ne jamais définir a0 auparavant et y arriver avec la convention ab=exp(b ln(a)) pour a>0. Mais alors on a un problème avec a<0 !! et convention pour convention ...

Donc pour assurer une preuve, il faut connaître bien à fond la construction des notions utilisées et les conventions de notation.

Cordialement.

[Samuel9-14]

D'accord, merci bien

[S321]

Ah oui j'oubliais. Beaucoup de chose qu'on vous affirme au collège et au lycée sans plus de justification que leur caractère évident sont en fait soit des théorèmes, soit des conventions voir des axiomes (qui sont un cas particulier de convention).

Par exemple on vous a sans doute déjà parlé des nombres réels et donné des propriétés les concernant par contre je doute fort qu'on vous ai justifié comment on construit l'ensemble des nombres réels. Les méthodes principales étant l'utilisation des coupures de Dedekind ou en tant qu'ensemble de classes d'équivalence de suites de Cauchy rationnelles. Il me semble qu'on voit ces méthodes en fin de licence de maths, en master voir pas du tout ce qui n'empêche absolument pas d'utiliser les nombres réels.
Il s'agit d'une méthode d'apprentissage des maths qu'on peut qualifier de descendante, on part de l'intuition qu'on a des choses et on tente de les écrire formellement et de développer leurs propriétés. Une fois qu'on a une vision plus précise et mieux définit de ce dont on parle on descend de nouveau pour formaliser plus encore nos concepts, les définir plus rigoureusement et généraliser leurs propriétés.

La méthode montante aide aussi à apprendre les maths et permet de jeter un regard critique sur ce qu'on a fait. Elle consiste à expliciter de manière très formelle un certains nombre de propriétés et de règles qu'on admet sans les justifier, ces propriétés s'appellent des axiomes, puis d'appliquer successivement les règles pour démontrer des théorèmes et retrouver les propriétés qu'on connait (et peut-être même d'autres au passage ^^).

J'imagine que c'est assez obscur ce que je viens de dire alors prenons un exemple. L'arithmétique.
Méthode descendante : D'après notre expérience du monde on en vient à concevoir l'idée de ce qu'est un nombre. On les appelles 1, 2, 3,... et ils représentent des choses qu'on visualise. C'est d'ailleurs le sens des problèmes de maths qu'on voit en primaire : "Pierre a 2€, il gagne 5€ combien a-t-il d'argent ?" c'est ce problème qui donne l'idée de formaliser le concept d'addition. De même les autres opérations suivent, on développe plusieurs concepts telles que le principe de récurrence ou le zéro, on s’aperçoit que certains nombres ont des propriétés remarquables comme les nombres premiers qui ne sont divisible que par 1 et par eux même et on démontre un certains nombre de théorèmes.
Mais ici l'existence du nombre 1 par exemple n'est pas démontrée. C'est une supposition ad hoc. Au final on fait beaucoup de suppositions, beaucoup plus que nécessaire. A-t-on vraiment besoin de supposer que 2 existe si on a déjà supposé que 1 et l'addition existait ? Non, dans ce cas là c'est un théorème et on peut définir que le caractère "2" désigne le nombre 1+1.

Méthode montante : La question est donc de savoir de quelles propriétés on a absolument besoin pour faire de l'arithmétique. Peano nous propose :
1) Il existe un entier naturel qu'on appel zéro et qu'on note 0
2) Tout entier naturel n admet un successeur qu'on note S(n)
3) 0 n'est le successeur d'aucun entier naturel.
4) Si deux entiers naturels ont le même successeur alors ils sont égaux.
5) Le principe de récurrence est vraie. C'est à dire que si P est une propriété sur les entiers telles que P(0) et pour tous entier n on a P(n)=>P(n+1) alors pour tous entier n on a P(n).

A partir de ces 5 axiomes* qu'on ne démontre pas, on n'a aucun moyen de le faire puisqu'on ne suppose rien d'autre vrai et que comme c'est bien foutu aucun des cinq n'est conséquence des quatre autres, on peut définir tous les concepts de l'arithmétique et démontrer toutes ses propriétés.
On définit le nombre un et on note par le caractère "1" le successeur de 0. "Un" existe et est bien définit d'après les axiomes 1) et 2)... et ainsi de suite.

*On utilise aussi les règles de la logique. Ces règles sont elle-même utilisées au départ pour leur caractère évident. Par exemple que si une propriété A est vraie et que A=>B est vrai aussi alors B est vraie. On appel cette opération le modus ponens et là je suis de nouveau en train d'utiliser la méthode descendante pour aller plus loin dans la formalisation.
La logique elle-même est une théorie mathématique, elle a ses axiomes aussi et une fois qu'on les a explicité on peut remonter.

[Samuel9-14]

Merci bien pour cette belle explication