Nombre premier et pgcd

[happynewyear]

Bonsoir,
Comment on montre que pour n entier naturel premier >=5 , 12 divise n²+11 ?

Merci
-----

[danyvio]

En partant du fait que si n premier et >=5, alors n congru à 1 ou 5 ou 7 mod(12) A toi de jouer pour la suite...

[happynewyear]

si n premier et >=5, alors n congru à 1 ou 5 ou 7

comment vous trouver cela ?

Merci

[happynewyear]

En appliquant les théorèmes de la congruences, on trouve que n congrue à 1 mod 12 donne n^2+11 congrue à 0 mod 12 et ainsi de suite, c'est bien cela?

[A voir en vidéo sur Futura]

[happynewyear]

En essayant aves les premiers nombres premiers je trouve que:
5=0*12+5
7=0*12+7
11=0*12+11
13=1*12+1
17=1*12+5
Donc on a un cycle qui revient, et est ce que ça prouve que tout nombres premiers est congrue à 1 ou 5 ou 7 ou 11 mod 12?

[happynewyear]

un peu d'aide s'il vous plaît

[S321]

Le fait de tester une propriété sur 6 nombres n'est pas une preuve que la propriété est tout le temps vraie. S'il y a un cycle, prouvez le vraiment.

Sinon essayez les cas un par un. Vous prenez n un nombre premier ≥ 5. Est-ce que n peut être congru à 0 modulo 12 ? Non il serait divisible par 12 et donc pas premier.
Est-ce que n peut être congru à 2 modulo 12 ? Non plus.
De même voyez qu'il ne peut pas être congru à 3, 4, 6, 8, 9 ou 10.

Une fois que vous avez éliminez ces huit cas il ne vous reste qu'à étudier ce qu'il se passer pour n²+1 modulo 12 lorsque n est congru à 1, 5, 7 ou 11.

[happynewyear]

S'il y a un cycle, prouvez le

Juste, quand on a le 5 qui revient, ça veut pas dire que on repart depuis le début? Enfin, ici quand je continue avec les nombres premiers de plus en plus grand, le cycle est rompu donc.

D'autre part, si j'ai bien compris, utilise le modulo 12 pour trouvé les restes possibles de n par dijonction des cas, non?
En tout cas, j'ai pu résoudre ce problème.

Merci de vos réponse. o(∩_∩)o

[S321]

Juste, quand on a le 5 qui revient, ça veut pas dire que on repart depuis le début?

Si c'est le cas il faut le démontrer. Il faut bien dire que vos arguments ne sont pas très convaincants*, ils n'arrivent même pas à vous convaincre totalement vous même. Pour utiliser cette méthode il faudra utiliser une récurrence à un moment où un autre.

*Attention, il ne suffit pas de l'affirmer avec plus d'assurance pour que ça devienne convaincant ^^

[danyvio]

En partant du fait que si n premier et >=5, alors n congru à 1 ou 5 ou 7 mod(12) A toi de jouer pour la suite...

Je me cite, même si ma modestie (dont je suis fier) en souffre
J'avais oublié le cas n congru à 11 mod(12)
Or 11 = -1 mod(12)
Pourquoi les n congru à 0,2,3,4,6,8,9,10 mod(12) ne sont pas premiers ? Tout simplement parce que alors n est divisible par 2 et / ou par 3 et/ou par 5 et donc n'est pas premier.
La division par 12 ne donnant que 12 restes possibles de 0 à 11 on a ainsi exploré tous les cas.

Revenons à (mon) point de départ : si n est congru à 1 ou 5 ou 7 ou 11 mod(12) , à quoi est congru n² mod(12) ???? Application bête du cours !

[Seirios]

Pour une solution différente, on peut remarquer que modulo 12 : . Or parmi les trois nombres consécutifs , et , l'un au moins doit être divisible par 3 ; mais ce ne peut être puisque c'est un premier supérieur à 5. De même, comme ne peut être congrus qu'à 1 ou 3 modulo 4 (sans quoi serait divisible par 2), nécessairement ou est divisible par 4. On prouve donc que est divisible par 3 et par 4 ; ces nombres étant premiers entre eux, on en déduit que 12 divise .

Maintenant, la méthode qui t'est proposée par danyvio et S312 est vraiment basique, donc il te faut absolument la comprendre !

[S321]

Pour une solution différente, on peut remarquer que modulo 12 : .

Oh, juste une petite remarque d'un point de vu pédagogique. Avant le bac il est préférable d'utiliser le symbole de congruence plutôt que de parler d'égalité dans ℤ/12ℤ. Conceptuellement c'est en fait assez difficile de dire que 11=-1 et ça risque d'embrouiller plus qu'autre chose.

[danyvio]

Oh, juste une petite remarque d'un point de vu pédagogique. Avant le bac il est préférable d'utiliser le symbole de congruence plutôt que de parler d'égalité dans ℤ/12ℤ. Conceptuellement c'est en fait assez difficile de dire que 11=-1 et ça risque d'embrouiller plus qu'autre chose.

En effet, je fais amende honorable, j'aurais dû utiliser

Je suis même partisan de réintroduire ce symbole, qui était baptisé : "identique à " et utilisé il y a longtemps, pour (par exemple) les identités remarquables.
Quand on écrit (A+B)²=A²+2AB+B², le signe = pourrait (et à mon sens devrait) être remplacé par , puisqu'il ne s'agit pas ici de résoudre une équation (signe =) mais de mettre en évidence une "identité".

[Médiat]

Conceptuellement c'est en fait assez difficile de dire que 11=-1 et ça risque d'embrouiller plus qu'autre chose.

Mais que c'est dommage, cela permettrait de, tellement mieux, faire comprendre la notion d'égalité.

[happynewyear]

n est congru à 1 ou 5 ou 7 ou 11 mod(12)

Pour conclure o(∩_∩)o
-n congrue à 1 mod 12, donc n² congue à 1 mod 12, donc n²+11 congrue à 12 donc 0 mod 12
-n congrue à 5 mod 12, donc n² congue à 25 donc 1 mod 12, donc n²+11 congrue à 12 donc 0 mod 12
-n congrue à 7 mod 12, donc n² congue à 49 donc 1 mod 12, donc n²+11 congrue à 12 donc 0 mod 12
-n congrue à 5 mod 12, donc n² congue à 121 donc 1 mod 12, donc n²+11 congrue à 12 donc 0 mod 12

Merci de m'avoir répondu sérieusement et bonne soirée! o(∩_∩)o

[happynewyear]

c'est en fait assez difficile de dire que 11=-1 et ça risque d'embrouiller plus qu'autre chose.

C'est vrai que si en apprenant la congruence en début de terminal, le prof me sort ça, j'aurai cette tête là moi (rire)

[danyvio]

OK, mais derrière j'avais bien mis mod(12)
Cordialement,
J'en profite pour te dire que ta correction est juste, sauf que la dernière ligne a une faute de frappe (tu as mis congru à 5 au lieu de 11)
Ha le copier/coller