Exercice nombre premier entre eux, PPCM, PGCD

[invite924f0762]

Bonjour à tous,

je travail actuellement sur ces chapitres et je galère un petit peu.
J'ai une série d'exercice à faire pour m'entrainer mais je bloque sur 2 exercices.

Exercice 49 page 56

Le but de l'exercice est de résoudre dans N²
{xy = 360
{PPCM(x;y) = 60

1. On note (u;v) une solution du système. Calculez le PGCD g de u et de v.
2. Si u = gu' et v = gv', que dire de u' et de v'.
3. Calculez le produit u'v'. Quelles sont les valeurs possibles de (u';v') ? Déduisez en les vqleurs possibles de (u;v). Vérifiez que ces valeurs conviennent.

Mes Réponse :
1. On sait que PGCD x PPCM = uv
donc PGCD = uv/PPCM = 360/60 = 6
Donc PGCD(u;v)=6
2. Si u = gu' et v=gv' alors u' et v' sont premiers entre eux (je sais pas si il faut justifier et je sais pas comment justifier).
3. Comme u = gu' et v=gv' alors u' = u/g et v'=v/g
Donc u'v' = uv/g² = 360 / 6² = 10
Or D(10)=1,2,5,10
Donc comme on résoud sur N²
Les solutions sont : u'= 1 et v' = 10 ou u' = 2 et v' = 5
Donc les solutions pour u et v sont :
- u = gu' = 6 et v = gv' = 60 (Vérification: uv = 6 x 60 = 360)
- u = gu' = 12 et v = gv' = 30 (Vérification: uv = 12 x 30 = 360)

Voila après je sais pas si il manque des justifications ou pas...


Exercice 65 page 59

n est un entier naturel.
Prouvez que (n² - 1)(n²)(n² + 1) est divisible par 60.

Et pour cette exercice j'ai essayé de chercher plein de truc peut etre inutile... Genre le PGCD de n²-1 et n²+1 je trouve qu'ils ont en commun soit n² - 3 soit n² + 3. Mais ca m'apporte rien...
Je sais pas sur quel piste me lancer, pouvez vous m'aider ?
-----

[invite57a1e779]

Pour le premier exercice, il manque des solutions, par exemple u=60 et v=6...

Pour le second exercice, il faut utiliser la décomposition de 60 en facteurs premiers : 60 =2².3.5.
Il suffit alors de prouver que ton entier est divisible par 4, par 3 et par 5.

[invite924f0762]

Merci pour tes réponses ^^

Pour le premiers exercices il faut pas plutôt considéré juste des couples ?
Du genre (60; 6) et (12;30). Ou il faut aussi préciser (6;60) et (30;12) ?

Et merci pour l'exercice 2 je vais essayer.
Mon prof nous as dit qu'on devait penser à factoriser, utiliser les congruences et aussi le théorème de Gauss.

[invite57a1e779]

Pour le premiers exercices il faut pas plutôt considéré juste des couples ?

Les couples (60;6) et (6;60) sont distincts !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite924f0762]

Bon j'ai cherché pas mal de truc par le 2eme exercice.
Mais j'ai fonctionné qu'en congruence ^^.
Enfin à part pour démontrer qu'il est divisible par 3.

Comme n²-1, n² et n²+1 sont 3 nombres consécutifs alors l'un des trois est un multiple de 3.

Ensuite pour 4 et 5 je fais des tableaux de congruences et je trouve que le produit de n²-1, n² et n²+1 sont forcément congru à 0 modulo 4 et congru à 0 modulo 5.
Donc comme (n² - 1)(n²)(n² + 1) est divisible par 3, 4 et 5 alors il est divisible par leur produit c'est à dire 60.

J'espère que mon raisonnement est bon.
Et encore merci pour l'aide

[invitea3eb043e]

Donc comme (n² - 1)(n²)(n² + 1) est divisible par 3, 4 et 5 alors il est divisible par leur produit c'est à dire 60.

J'espère que mon raisonnement est bon.
Et encore merci pour l'aide

N'oublie pas de dire que 3, 4 et 5 sont premiers entre eux, sinon ça ne colle pas.