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Calcul d'une limite



  1. #1
    Samuel9-14

    Calcul d'une limite

    Bonjour à tous, je butte sur une limite pourtant toute bête je suppose...

    Trouver la limite en + l'infini de 1-(x²-2x+2)e-x
    On trouve une forme indéterminée et je ne vois pas comment simplifier.
    Enfin si, je mets le x² en facteur j'obtiens 1-(x²(1-(2/x)+(2/x²)))/ex
    Ce qui revient à faire 1-(x²/ex)*(1-(2/x)+(2/x²))
    Et du coup (x²/ex) tend vers 0, (1-(2/x)+(2/x²)) tend vers 1 donc 1-(x²-2x+2)e-x tend vers 1 ?
    Ca me parait bizarre en fait...

    -----


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  3. #2
    S321

    Re : Calcul d'une limite

    Bonjour,

    C'est bien ça. Dans (x²-2x+2)e-x on peut se dire que l'exponentielle écrase le polynôme et force la quantité à tendre vers 0 quand x tend vers l'infini. Le fait que l'exponentielle est la plus forte c'est un moyen mnémotechnique, mais vous avez démontré le résultat.
    Vous appliquez les théorèmes de croissances comparées à l'expression x²/ex et il n'y a plus d'autre indétermination que celle-ci.
    Dernière modification par S321 ; 16/02/2013 à 10h53.
    Wir müssen wissen, wir werden wissen.

  4. #3
    Blead

    Re : Calcul d'une limite

    Bonjour,

    Tu connais peut etre le théorème des croissances comparées ? Qui te dis que Exp l'emporte sur les polynômes.

    Donc tu trouves que -(X² -2X +2)e-x tend vers 0, et alors ton expression tend vers 1.

  5. #4
    Samuel9-14

    Re : Calcul d'une limite

    On n'a as vu avec les polynômes, juste avec la puissance, mais j'imagine que c'est pareil ! Merci pour vos réponses en tout cas.

    Une autre me pose problème :

    x-1+(x²+2)e-x en plus et en moins l'infini...

    Du coup en plus l'infini ça tend vers plus l'infini, et en moins l'infini ça fait une forme indéterminée. On écrit : x-1+(x²+2)/ex, l'exponentielle l'emporte sur le polynôme donc le tout tend vers + l'infini ?

  6. #5
    gg0

    Re : Calcul d'une limite

    Bonjour.

    Tu as une somme. Tu n'as traité que le second terme apparemment.
    Il serait bon que tu ramènes chaque affirmation à un théorème précis (de ton cours), plutôt que d'utiliser des affirmations floues du genre " l'exponentielle l'emporte sur le polynôme".
    En moins l'infini, (x²+2)/ex est un quotient dont le numérateur tend vers plus l'infini, le dénominateur tend vers 0 et le signe est positif. Tu peux en déduire sa limite (si tu as un cours bien fait) avec une propriété classique. Reste que ça ne dit rien sur x-1 ni sur la somme (x-1) +{ (x²+2)/ex}.

    Cordialement.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Samuel9-14

    Re : Calcul d'une limite

    Je me fais peur des fois...
    Pour x tend vers - l'infini :
    (x²+2)/ex tend vers + l'infini. x-1 tend vers - l'infini. On a une forme indéterminée. C'est cette fome indéterminée que je n'arrive pas à lever et non le "(x²+2)/ex" (je m'étais mal exprimé c'est vrai.)
    Je factorise par (x-1) ? J'arriverais à (x-1)(1+(x²+2)/ex*1/(x-1)) et ça ne me parait guère mieux ^^


    Pour x tend vers + l'infini :
    (x²+2)/ex, je ne vois pas d'autres théorèmes de cours que "l'exponentielle l'emporte sur la puissance...".
    Du coup (x²+2)/ex tend vers 0.
    Finalement : (x-1) +{ (x²+2)/ex} tend vers + l'infini.

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  10. #7
    gg0

    Re : Calcul d'une limite

    Tu as vraiment un théorème de cours qui dit "l'exponentielle l'emporte sur la puissance..." ? Si ce n'est pas le cas, en attendant d'avoir les théorèmes sur les négligeables et les équivalents, il faut te ramener au bon théorème, par exemple :
    ou le plus général
    Pour le cas - infini, il faut effectivement traiter la question. Tu peux "forcer la factorisation" par e-x en écrivant
    puis traiter le facteur obtenu.

    Ce genre de limite est assez pénible si on ne dispose pas d'outils efficaces ( négligeables et équivalents, voire développements limités).

    Pour + infini, il manque des justifications (*), mais c'est l'idée.

    Cordialement.

    (*) c'est x²+2, pas une simple puissance de x; et surtout, quid de x-1 ?

  11. #8
    Samuel9-14

    Re : Calcul d'une limite

    Oui pour + infini je me doute que j'ai pas tout rédigé

    Quant au "l'exponentielle l'emporte sur la puissance...", notre prof nous a dit qu'au bac on aurait certainement le point mais sans doute pas pour un concours pour entrer dans une quelconque école.
    Mais de toutes façons ça revient au théorème que tu as proposé, non ? (avec xn)

    Sinon toujours pour - infini je ne vois pas comment faire, avec e-x en facteur je me retrouve avec une forme indéterminée (ex(x-1)) aussi...

  12. #9
    Ptitnoir-gris

    Re : Calcul d'une limite

    Citation Envoyé par Samuel9-14 Voir le message
    Quant au "l'exponentielle l'emporte sur la puissance...", notre prof nous a dit qu'au bac on aurait certainement le point mais sans doute pas pour un concours pour entrer dans une quelconque école.
    Mais de toutes façons ça revient au théorème que tu as proposé, non ? (avec xn)

    Sinon toujours pour - infini je ne vois pas comment faire, avec e-x en facteur je me retrouve avec une forme indéterminée (ex(x-1)) aussi...
    Salut

    1)
    écrire est équivalent à écrire que

    avec quelconque et la fonction définie par est appelée "fonction puissance"

    Remarque :
    C'est EGALEMENT équivalent à expliquer que la fonction définie par l'emporte sur sur la fonction définie par AU VOISINAGE de
    (ne pas oublier de spécifier ce voisinage... )

    Cette relation " la fonction l'emporte sur la fonction au voisinage de..." s'écrit (en maths) par la notation : ou (c'est à dire pour avec donné)


    2)
    Concernant la limite en

    comme

    que peux tu en déduire ?
    Dernière modification par Ptitnoir-gris ; 16/02/2013 à 14h11.

  13. #10
    Samuel9-14

    Re : Calcul d'une limite

    Je ne vois pas vraiment ce que ça change...

  14. #11
    Médiat

    Re : Calcul d'une limite

    Bonjour

    Citation Envoyé par Ptitnoir-gris Voir le message

    écrire est équivalent à écrire que
    Vous écrivez que
    Ce qui est faux, il sufit de choisir et
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Samuel9-14

    Re : Calcul d'une limite

    Ca nous arrive de nous servir de ça pour x, et non pour x^n.

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  17. #13
    gg0

    Re : Calcul d'une limite

    Citation Envoyé par Samuel9-14
    Sinon toujours pour - infini je ne vois pas comment faire, avec e-x en facteur je me retrouve avec une forme indéterminée (ex(x-1)) aussi...
    Allons donc, tu as su traiter ce genre de cas précédemment, pourquoi pas ici ?

  18. #14
    Samuel9-14

    Re : Calcul d'une limite

    Ha yeees je crois que c'est bon.

    On a :






    Or xex tend vers 0, ex tend vers 0, donc le numértaur tend vers + infini.
    Le dénominateur tend vers 0 donc le tout tend vers + infini, c'est ça ?

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