Calcul d'une limite

[invite621f0bb4]

Bonjour à tous, je butte sur une limite pourtant toute bête je suppose...

Trouver la limite en + l'infini de 1-(x²-2x+2)e^-x
On trouve une forme indéterminée et je ne vois pas comment simplifier.
Enfin si, je mets le x² en facteur j'obtiens 1-(x²(1-(2/x)+(2/x²)))/e^x
Ce qui revient à faire 1-(x²/e^x)*(1-(2/x)+(2/x²))
Et du coup (x²/e^x) tend vers 0, (1-(2/x)+(2/x²)) tend vers 1 donc 1-(x²-2x+2)e^-x tend vers 1 ?
Ca me parait bizarre en fait...
-----

[inviteaf48d29f]

Bonjour,

C'est bien ça. Dans (x²-2x+2)e^-x on peut se dire que l'exponentielle écrase le polynôme et force la quantité à tendre vers 0 quand x tend vers l'infini. Le fait que l'exponentielle est la plus forte c'est un moyen mnémotechnique, mais vous avez démontré le résultat.
Vous appliquez les théorèmes de croissances comparées à l'expression x²/e^x et il n'y a plus d'autre indétermination que celle-ci.

[invite8ac20103]

Bonjour,

Tu connais peut etre le théorème des croissances comparées ? Qui te dis que Exp l'emporte sur les polynômes.

Donc tu trouves que -(X² -2X +2)e^-x tend vers 0, et alors ton expression tend vers 1.

[invite621f0bb4]

On n'a as vu avec les polynômes, juste avec la puissance, mais j'imagine que c'est pareil ! Merci pour vos réponses en tout cas.

Une autre me pose problème :

x-1+(x^²+2)e^-x en plus et en moins l'infini...

Du coup en plus l'infini ça tend vers plus l'infini, et en moins l'infini ça fait une forme indéterminée. On écrit : x-1+(x^²+2)/e^x, l'exponentielle l'emporte sur le polynôme donc le tout tend vers + l'infini ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Tu as une somme. Tu n'as traité que le second terme apparemment.
Il serait bon que tu ramènes chaque affirmation à un théorème précis (de ton cours), plutôt que d'utiliser des affirmations floues du genre " l'exponentielle l'emporte sur le polynôme".
En moins l'infini, (x^²+2)/e^x est un quotient dont le numérateur tend vers plus l'infini, le dénominateur tend vers 0 et le signe est positif. Tu peux en déduire sa limite (si tu as un cours bien fait) avec une propriété classique. Reste que ça ne dit rien sur x-1 ni sur la somme (x-1) +{ (x^²+2)/e^x}.

Cordialement.

[invite621f0bb4]

Je me fais peur des fois...
Pour x tend vers - l'infini :
(x²+2)/e^x tend vers + l'infini. x-1 tend vers - l'infini. On a une forme indéterminée. C'est cette fome indéterminée que je n'arrive pas à lever et non le "(x²+2)/e^x" (je m'étais mal exprimé c'est vrai.)
Je factorise par (x-1) ? J'arriverais à (x-1)(1+(x²+2)/e^x*1/(x-1)) et ça ne me parait guère mieux ^^


Pour x tend vers + l'infini :
(x²+2)/e^x, je ne vois pas d'autres théorèmes de cours que "l'exponentielle l'emporte sur la puissance...".
Du coup (x²+2)/e^x tend vers 0.
Finalement : (x-1) +{ (x²+2)/e^x} tend vers + l'infini.

[gg0]

Tu as vraiment un théorème de cours qui dit "l'exponentielle l'emporte sur la puissance..." ? Si ce n'est pas le cas, en attendant d'avoir les théorèmes sur les négligeables et les équivalents, il faut te ramener au bon théorème, par exemple :
ou le plus général
Pour le cas - infini, il faut effectivement traiter la question. Tu peux "forcer la factorisation" par e^-x en écrivant
puis traiter le facteur obtenu.

Ce genre de limite est assez pénible si on ne dispose pas d'outils efficaces ( négligeables et équivalents, voire développements limités).

Pour + infini, il manque des justifications (*), mais c'est l'idée.

Cordialement.

(*) c'est x²+2, pas une simple puissance de x; et surtout, quid de x-1 ?

[invite621f0bb4]

Oui pour + infini je me doute que j'ai pas tout rédigé

Quant au "l'exponentielle l'emporte sur la puissance...", notre prof nous a dit qu'au bac on aurait certainement le point mais sans doute pas pour un concours pour entrer dans une quelconque école.
Mais de toutes façons ça revient au théorème que tu as proposé, non ? (avec xⁿ)

Sinon toujours pour - infini je ne vois pas comment faire, avec e^-x en facteur je me retrouve avec une forme indéterminée (e^x(x-1)) aussi...

[invite4842e1dc]

Quant au "l'exponentielle l'emporte sur la puissance...", notre prof nous a dit qu'au bac on aurait certainement le point mais sans doute pas pour un concours pour entrer dans une quelconque école.
Mais de toutes façons ça revient au théorème que tu as proposé, non ? (avec xⁿ)

Sinon toujours pour - infini je ne vois pas comment faire, avec e^-x en facteur je me retrouve avec une forme indéterminée (e^x(x-1)) aussi...

Salut

1)
écrire est équivalent à écrire que

avec quelconque et la fonction définie par est appelée "fonction puissance"

Remarque :
C'est EGALEMENT équivalent à expliquer que la fonction définie par l'emporte sur sur la fonction définie par AU VOISINAGE de
(ne pas oublier de spécifier ce voisinage... )

Cette relation " la fonction l'emporte sur la fonction au voisinage de..." s'écrit (en maths) par la notation : ou (c'est à dire pour avec donné)


2)
Concernant la limite en

comme

que peux tu en déduire ?

[invite621f0bb4]

Je ne vois pas vraiment ce que ça change...

[Médiat]

Bonjour

écrire est équivalent à écrire que

Vous écrivez que
Ce qui est faux, il sufit de choisir et

[invite621f0bb4]

Ca nous arrive de nous servir de ça pour x, et non pour x^n.

[gg0]

Sinon toujours pour - infini je ne vois pas comment faire, avec e^-x en facteur je me retrouve avec une forme indéterminée (e^x(x-1)) aussi...

Allons donc, tu as su traiter ce genre de cas précédemment, pourquoi pas ici ?

[invite621f0bb4]

Ha yeees je crois que c'est bon.

On a :






Or xe^x tend vers 0, e^x tend vers 0, donc le numértaur tend vers + infini.
Le dénominateur tend vers 0 donc le tout tend vers + infini, c'est ça ?