aide pour exercice de proba conditionnelles

[adaliane]

Bonsoir, un des exercices que je dois faire pour la rentrée est le suivant:

Justine débute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la première partie.
On admet que, si elle gagne une partie, la probabilité qu’elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilité pour qu’elle perde la partie suivante est 0,7.
On note, pour n entier naturel non nul :
Gn l’événement : « justine gagne la n-ième partie »,
Pn l’événement : « justine perd la n-ième partie ».

1.

a) Déterminer les probabilités p(G1), pG1(G2) et pP1(G2).

b) En déduire la probabilité p(G2) et Calculer p(P2).



2. On pose, pour n entier naturel non nul, xn = p(Gn) et yn = p(Pn).

a) Déterminer, pour n entier naturel non nul, les probabilités : pGn(Gn+1) et pGn(Pn+1).

b) Montrer que pour tout n entier naturel non nul :
xn+1 = 0, 6xn + 0, 3yn
yn+1 = 0, 4xn + 0, 7yn



3.

a)Ecrire un algorithme permettant de calculer les différentes valeurs de xn et de yn.

b) A partir de quelle valeur de n a-t-on xn < 0,43

c) Comment évoluent les valeurs de xn et de yn quand n augmente ?

d) Que se passe-t-il si on modifie la probabilité qu'a Juliette de gagner la premier partie ?



4. Pour n entier naturel non nul, on pose vn = xn + yn et wn = 4xn − 3yn.

a) Montrer que la suite (vn) est constante de terme général égal à 1.

b) Montrer que la suite (wn) est géométrique et exprimer wn en fonction de n.



5.

a) Déduire de la question précédente l’expression de xn et de yn en fonction de n.

b) Montrer que la suite (xn) converge et déterminer sa limite.
Qu'en est-il pour la suite (yn) ?



voici mes réponses:
1)a) p(g1)=0.5 p _g1 (g2)= 0.6 p_p1(p2)=0.3
b) p(g2)=0.45 p(p2)= 0.55

2a) (et c'est là que je commence à avoir du mal car je ne sais pas comment faire alors j'ai essayée)
p_gn(g_n+1)=p(g_n inter g_n+1)/p(gn)
= 0.6*0.6/0.6
=0.6?????? (gros doute sur cette réponse)

pareil pour p_gn(p_n+1)=0.4?????
2b) et là c'est le plat total pour toutes celles qui suivent, vraiment aucune idée de comment il faut faire.



merci d'avance de votre aide.
-----

[ASan78]

Bonjour,

Tout d'abord, j'ai eu le courage de lire tout le message, mais je ne sais pas si ça a été le cas de tout le monde. Ton message est un peu indigeste

Bref, pour la question 1), oui, c'est bien les bonnes probabilités.

Pour la question 2, oui, tu as trouvé les bonnes réponses en utilisant les formules de ton cours. Ceci dit, ce sont des réponses intuitives si tu cherches à comprendre ce que pGn(Gn+1) signifie. C'est la probabilité de gagner la (n+1)-ème partie sachant que tu as gagné la n-ème. Or, c'est clairement la définition de ton jeu. Donc, c'est directement 0.6, sans passer par les calculs. De même pour pPn(Pn+1).

C'est très bien d'utiliser les formules de ton cours, ça montre à ton prof que tu as bien révisé. Mais, en mathématiques en général, et en particulier dans des exercices concrets comme celui-ci, il est important de bien visualiser ce que signifient les questions. Ca peut t'éviter de faire des calculs inutiles (et donc des fautes) et ça montre aussi que tu ne fais pas que réciter ton cours, mais que tu réfléchis par toi-même. C'est, à mon sens, la qualité essentielle en maths

Pour en revenir à ton exercice, pour la question 2b), tu peux également faire ça intuitivement. On te demande d'exprimer x(n+1) en fonction de x(n) et y(n). Autrement dit, on te demande d'exprimer la probabilité de gagner la (n+1)-ème partie en fonction des probabilités de victoire et d'échec de la n-ème partie. Encore une fois, c'est clairement la définition de ton jeu.

Ensuite, pour l'algorithme, une méthode très efficace est de faire les premiers calculs sur une feuille de papier. Tu verras quels calculs tu as besoin de faire pour trouver chaque probabilité. Les questions suivantes découleront facilement de ton algorithme.

Pour la question 4a), tu t'en sortiras trèèès facilement en comprenant ce que représente v(n). La question 4b), c'est juste un peu de calcul. Exprime w(n+1) en fonction de w(n), fais apparaître v(n). Reviens à la définition de suite géométrique, aussi.

La question 5a) est rapide en ayant fait ce qui précède. Ensuite, c'est un simple calcul de limite.

Bon courage,

Asan.

[adaliane]

Vu comme ça je comprends mieux ^^. Il me manquait les méthodes de résolution pour ce genre d'exercice pour que je puisse comprendre et savoir quoi faire.
Je te remercie beaucoup, je penses que ça m'aidera énormément pour la suite ^^.

[invite4842e1dc]

2. On pose, pour n entier naturel non nul, xn = p(Gn) et yn = p(Pn).

a) Déterminer, pour n entier naturel non nul, les probabilités : pGn(Gn+1) et pGn(Pn+1).

b) Montrer que pour tout n entier naturel non nul :
xn+1 = 0, 6xn + 0, 3yn
yn+1 = 0, 4xn + 0, 7yn

Bonjour

La probabilité calculée par pGn(Gn+1) est la probabilité de gagner la partie n+1 sachant qu'on a gagné la partie n
En relisant ton énoncé , tu devrais vite "voir" quelle est la réponse

Idem pour calculer pGn(Pn+1)

Et pour la question b) : en dessinant faisant un arbre de probabilités à 2 niveaux ( 4 branches ) tu devrais pouvoir trouver ces formules "relativement" facilement

[A voir en vidéo sur Futura]