inéquation trigonométrique

[inviteabddc508]

Bonjour à tous,

je n'arrive pas à résoudre cos(x)+cos(3x) >ou= 0

Après transformation, j'obtiens : cos(2x)cos(x) >ou= 0

Donc la condition de départ est équivalente à:

(cos(2x)>=0 et cos(x)>=0) ou (cos(2x)<=0 et cos(x)<=0)

Mais je ne comprend pas comment résoudre cela, de manière à obtenir la solution finale donnée étant :

U ([-pi/4+2kpi;pi/4+2kpi]U[pi/2+2kpi;3pi/4+2kpi]U[5pi/4+2kpi;3pi/2+2kpi])

Je pleure presque sur ma feuille, j'ai beau faire un dessin, je n'y arrive pas

Merci de votre aide

ps:je reprend les math après 10ans d'arrêt, justa à l'aide d'un cours de première bachelier et je rame un peu
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[pallas]

pour resoudre une inéquation trigo il faut lire les résultats sur le cercle trigonometrique

[inviteabddc508]

je sais, c'est bien ce que je dis, malgré cela je patauge dans la semoule :s

[Lil00]

Bonjour,

Il faut y aller pas à pas. Commence par résoudre (cos(2x)>=0 et cos(x)>=0).

d'une part,
(cos(x) >=0) <=> x appartient à [ ?;? ]
d'autre part,
(cos(2x) >=0) <=> x appartient à [ ?;? ]

Et ensuite faire l'intersection des intervalles.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteabddc508]

Voici donc, comment je procède (j'espère que je suis lisible)

Pour la partie 1, je peux concevoir que l'intersection des intervalles donne [-pi/4;pi/4]+2kpi

Pour la partie 2, j'ai un peu plus de mal, même si doit être logique de prendre les intervalles comprenant

x>ou= 3pi/4 et x>ou=pi/2
et
x<ou= 5pi/4 et x<ou= 3pi/2

en faisant cela j'arrive bien à la solution, mais je ne comprend pas le comment du pourquoi?? (mon père m'a tjs dit que je comprend vite mais qu'il faut m'expliquer longtemps :s)

si j'étais à un examen, je n'aurais pas donné les bons intervalles, en effet, j'aurais donné les intervalles notés à chaque cercle et pouf, raté :s

[inviteabddc508]

en fait, non c'est pire, j'aurais dit que

S=U([-pi/4+2kpi;pi/4+2kpi]U[5pi/4+2kpi;3pi/4+2kpi]) : k appartenant à Z

quand je trigotte, je tricotte :s

[Lil00]

Si on reprend tes calculs manuscrits :

La 1e erreur est de dire que
cos (2x) >= ... donc 2x >= pi/2 + 2kpi
Cette proposition est fausse, comme tu peux le voir sur le cercle trigo.


Commençons par : cos(x)>0 veut dire que x appartient à [ ? ; ? ]

[inviteabddc508]

Si cosx >= 0 alors x appartient à [pi/2+2kpi;-pi/2+2kpi] ?

(je dois aller faire une course, je reviens d'ici une bonne 1/2h )

[Lil00]

Oui, c'est juste, donc reprenons l'équation avec cos(2x).

Tu arrives à 2x appartient à [pi/2+2kpi;-pi/2+2kpi].
Donc x appartient à [ ? ; ? ].

Récapitulons :
Tu avais deux équations
cos(x)>=0 et cos(2x)>=0.
Ce qui équivaut à
x appartient à [pi/2+2kpi;-pi/2+2kpi] et x appartient à [?;?]

Et donc au final, l'intersection de ces deux intervalles est ??

[inviteabddc508]

"Tu arrives à 2x appartient à [pi/2+2kpi;-pi/2+2kpi].
Donc x appartient à [ ? ; ? ]."

x appartient à [pi/4+2kpi;-pi/4+2kpi] et si je comprend bien, sans le cercle sous les yeux, on peut faire l'erreur de diviser 2kpi par 2 également?

"Et donc au final, l'intersection de ces deux intervalles est ?? "

x appartient à [pi/4+2kpi;-pi/4+2kpi] ?

[pallas]

attention dans les intervalles [a;b] a doit etre plus petit que b ainsi [pi;-pi] n' a pas de sens !!

[inviteabddc508]

effectivement petite erreur de notation, mais cela ne règle pas mon problème :s

[inviteabddc508]

Toutes mes confuses, j'aurais eu mieux fais de bien ouvrir les yeux avant de pleurer sur ma feuille

Dites-moi si je me trompre:

Si co(2x) <ou= 0 alors, x appartient à [pi/4;3pi/4]+2kpi, mais également à [-pi/4;5pi/4]+2kpi

Ensuite, si je prends l'intersection de ces 2 intervalles avec [pi/2;3pi/2]+2kpi (pour cosx<ou=0) j'arrive bien à la solution

Un grand merci pour votre patience et vos éclairages

[Lil00]

Si co(2x) <ou= 0 alors, x appartient à [pi/4;3pi/4]+2kpi, mais également à [-pi/4;5pi/4]+2kpi

Heu, non, par exemple, 0 appartient à l'ensemble écrit en gras, et pourtant cos(0)=1.

J'essaierais plutôt d'écrire que 2x doit appartenir à un ensemble, et de diviser par 2 ensuite.

[inviteabddc508]

ah fourte, non c'est un problème d'écriture, je voulais dire l'intervalle [5pi/4;7pi/4]+2kpi, plus juste comme cela non?

[Lil00]

ah fourte, non c'est un problème d'écriture, je voulais dire l'intervalle [5pi/4;7pi/4]+2kpi, plus juste comme cela non?

Heu, je ne crois toujours pas : cos(7pi/4) est strictement positif.

[inviteabddc508]

mais alors, l'intervalle [pi/4;3pi/4]+2kpi n'est pas bon non plus ??? je comprend plus rien fourte de fourte :s :s