Résolution d'équation / intégrales

[invite621f0bb4]

Bonjour ! Pour un exo d'intégrales j'ai eu cette question à résoudre. Je vous mets ma réponse mais elle me parait bizarre.
Soit a>1. On désigne par S(a) l'aire de la partie du plan comprise entre C et T et les droites d'équations x=1 et x=a. et A l'aire comprise entre entre C, T et les droites x=0 et x=1.
C étant la courbe représentative de la fonction xe^1-x et T la courbve représentative de la fonction x²e^1-x.

On admet que S(a)=3-e^1-x(a²+a+1).

1-Démontrer que l'équation S(a)=A est équivalente à e^a=a²+a+1.
Ca je l'ai fait sans problème.

2-Montrer qu'il existe une unique valeur de a pour laquelle les aires A et S(a)
Cela revient donc à démontrer qu'il existe une seule solution pour e^a=a²+a+1. Je me susi dit, soit la fonction h qui à a associe e^a-a²-a-1.
Je voulais utiliser le théorème de la valeur intermédiaire. Sauf que la dérivée donne :
h'(a)=e^a-2a-1
Et pour étudier les variations je suis bloqué à
e^a2a+1
lne^aln(2a+1)

J'arrive pas à trouver la valeur de a, est-ce possible ? nécessaire ? Est-ce que j'utilise pas du tout la bonne méthode ?
Merci d'avance !
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[invite621f0bb4]

ps : peut-être pas été très clair pour les vairations de h : je voudrais déterminer le signe de h'(a) mais je n'y parviens pas en fait, j'ai essayé de le comparer à 0 et de déduire une valeur de telle que h'(a)>0 mais sans succès, donc.

[gg0]

Bonsoir.

en étudiant les variations de h", on en déduit son signe, puis le sens de variation de h', qui permet de trouver ce que tu veux. Bon travail.

NB : Il n'est pas nécessaire (ni vraiment possible) de trouver les valeurs qui annulent h' ou h (sauf a=0 pour h', qui ne sert pas).

[invite621f0bb4]

Ha oui j'avais pas pensé à étudier h'' ! Merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621f0bb4]

Du coup on a bien h''=e^a-2 qui est strictement supérieur à 0.
Donc h' est croissante (passe de valeurs négatives à des valeurs positives).
h va donc être décroissante puis croissante.
h(1)=e-3
Mais à partir d'une certaine valeur b, h croît strictement et tendra ensuite vers l'infini.
Donc il n'existe qu'une seule valeur de a (dans l'intervalle [b;+l'infini]) qui permette de résoudre l'équation demandée.

La rédaction n'est peut-être pas parfaite mais je veux surtout être sûr d'avoir bien compris !

[gg0]

si a>1, ça me semble convenir !

[invite621f0bb4]

a>1 oui
Merci pour tout !