Maths TS : loi normale centrée réduite N(0;1)

[Fanny39]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de maths, et j'ai du mal à la faire, voici l'énoncé :

Lors d'une randonnée en montagne, la durée moyenne de parcours des 300 participants a été de 240 min. X est la variable aléatoire qui à un marcheur associe la durée du parcours en minutes.
On pose Y=(X-240)/20 et on admet que Y suit la loi normale cenPour la Q 1)trée réduite N(0;1).

1) Quelle est la probabilité qu'un marcheur choisi au hasard ait mis plus de 280 min pour faire cette randonnée?

2) Combien de personnes environ ont mis plus de 280 min pour faire cette randonnée?

3) Déterminer le nombre réel t tel que la probabilité que, la durée de parcours d'un marcheur soit entre (240-t) et (240+t) minutes, soit égales à 05.


Pour la Q1) j'ai pensé mettre en place une loi binomiale mais je ne sais pas comment trouvé n et p (j'avais pensé à n=300, mais ça ne fonctionne pas quand j'essaye de trouvé 20 dans le calcul donné).


Merci d'avance pour votre aide.
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[Teddy-mension]

Salut !
Pour la première question, je te conseille de partir de , et de faire un montage pour arriver à quelque chose comme , puisque tu sais que suit , et qu'il sera donc facile de déterminer le résultat à la calculatrice. Tu ne peux ici pas utiliser la loi binomiale, car ça représenterait une approximation grossière avec une marge d'erreur importante.
Bonne chance !

[Fanny39]

Salut Teddy-mension,

Merci pour ton aide, mais je ne vois pas vraiment comment faire ce "montage".. =/
Par contre après (une fois que j'aurais P(Y>...) ) je devrais utiliser la définition de l'aire sous la courbe et donc de l'intégrale pour ensuite en déduire mon résultat avec ma calculatrice, c'est bien ça? =)

[Fanny39]

J'ai essayé de faire quelque chose et je ne sais pas si c'est juste, peux-tu me le dire?
Donc :
P(X>280) = P(X-240>40) = P((X-240)/20>2) = P(Y>2)
P(0<Y<2) ==> 1/2-ʃ de 0 à 2 f(x) dx ≈ 0,48.
Ce que je trouve bizarre c'est que je trouve 2 alors que c'est compris entre 0 et 1..
Donc je pense avoir faux.
Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

C'est la probabilité qui est entre 0 et 1, pas les variables aléatoires. Par définition des variables Normales, X et Y varient de -oo à +oo.

Tu es bien parti :
"P(X>280) = P(X-240>40) = P((X-240)/20>2) = P(Y>2)" Ok.
et P(Y>2)=1-P(Y<=2)
"P(0<Y<2) ==> 1/2-ʃ de 0 à 2 f(x) dx ≈ 0,48." ???
Pourquoi écrire ==> alors qu'il n'y a pas de phrase avant ? Pourquoi 1/2- alors que P(0<Y<2) =ʃ de 0 à 2 f(x) dx ? Justement ! Pourquoi 0,48 alors que tu peux avoir une meilleure précision (les tables donnent 4 chiffres après la virgule, très utiles dans un cas comme celui-ci.

Donc en rectifiant (et comprenant ton cours, ça va te servir !!!), tu es presque au bout.

Bon travail !

[Fanny39]

Bonjour gg0,

Merci pour tes infos =).
Donc je marque :
P(X>280) = P(X-240>40) = P((X-240)/20>2) = P(Y>2) et P(Y>2)=1-P(Y<=2) donc P(0<Y<2) =ʃ de 0 à 2 f(x) dx ≈ 0,4772
(je n'ai pas de table et je ne sais pas m'en servir, mais j'ai utilisé ma calculatrice).
Est-ce bon pour la question 1?

Pour la Q2), je pensais faire 300*0,4772 ≈ 144 personnes ?

Mais pour la Q3), je n'ai aucune idées.. =/

[gg0]

Pour la question 1, il faudrait finir. C'est P(Y>2) que tu cherches, à toi de le calculer ...
Ok pour Q2.
Pour Q3, tu traduis en termes de X, puis tu fais comme dans Q1.

Bon travail !

[Fanny39]

Ce que j'ai calculer (0,4772) n'est pas le résultat de P(Y>2)? (je ne comprend plus rien alors .. =/ )
Mais pour la Q2), je prend 0,4772 comme résultat que je multiplie à 300.
Pour la Q3) je fais :
P((240-t)<X<(240+t))... ?

[gg0]

Ce que j'ai calculer (0,4772) n'est pas le résultat de P(Y>2)?

Ben non, tu le disais toi-même !!

P(0<Y<2) =ʃ de 0 à 2 f(x) dx ≈ 0,4772

Bon, soit tu es sérieuse, et tu fais ton travail, soit j'arrête là.

Pour Q2, c'est la méthode qui est bonne, pas le résultat, évidemment.

Pour la Q3, ce que tu écris est la traduction.

[Fanny39]

D'accord, merci.
Je ne suis pas sur mais est-ce que ce serait : P(Y>2)= 1-0,4772 = 0,5228 ? pour la Q1)
Et donc pour la Q2) : 300*0,5228 ≈ 157 personnes

[Fanny39]

Pour la Q3) j'ai essayé de faire ça :
P((240-t)<X<(240+t)) = 0,5
P(-t<X-240<t) = 0,5
P(-t/20<(X-240)/20<t/20) = 0,5
P(-t/20<Y<t/20) = 0,5
mais après je bloque et je ne sais même pas si c'est juste..
Merci.

[Teddy-mension]

Depuis quand ?
Sinon, pour la troisième question, tu es bien partie.
Une fois que t'arrives à , tu utilises simplement l'outil "Inverse Normal" de ta calculatrice.

[Fanny39]

Salut Teddy-mension,

Pour la Q1) j'avoue franchement être paumé .. =/ j'ai calculé P(0<Y<2) et avec ce résultat je ne sais pas comment calculer P(Y>2) ...

Merci pour ton aide à la Q3), je ne connaissais pas cet "outil", donc je vais essayer.

[Teddy-mension]

Pour la loi normale en Terminale, la calculatrice est indispensable, puisqu'on ne sait pas calculer la primitive de .
Du coup, à la calculatrice, tu es censée savoir déterminer, pour toute variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres connus:
Avec l'outil "Ncd"
Le réel , tel que , avec un réel connu;
Le réel , tel que , avec un réel connu;
Le réel , tel que , avec et des réels connus.
Avec l'outil "InvN"
Le réel , tel que , avec avec un réel connu.
Et avec certaines calculatrices, Le réel , tel que , avec avec un réel connu.
J'espère ne pas m'être trompé.

[Fanny39]

Merci pour ces rappels, mais avec ma calculatrice je ne sais pas comment rentrer mes données :
"InvNormCD(...,...,...,... )" voilà comment ça se présente avec ma calculatrice donc je ne sais pas comment je dois rentrer : P(-t/20<Y<t/20) = 0,5 ?
Merci d'avance.
Et pour la Q1) je sèche au final ...

[Teddy-mension]

Bon alors, pour la question 1, tu es partie de et tu as réussi à montrer que c'est égal à , avec suivant la loi normale centrée réduite. Et là, bah j'ai envie de dire, un coup de calculette, et c'est terminé. (Vous avez bien appris à vous servir de la calculatrice pour les lois normales, non ?)
Sinon, quel type de calculatrice tu as ?

[gg0]

Pour Q1, tu avais tout, tu aurais fini depuis longtemps si tu avais accepté de réfléchir. Mais tu as "calculé" désespérément, c'est à dire tu as écrit des calculs sans raison, en espérant que "c'est ça" !!

Alors que tu connais (calculette) P(0<X<2), que P(X<0) est évident (cours) et que tu cherches P(X>2) depuis le début ....
Alors utilise ton cerveau pour comprendre. Et, évidemment, les règles de base des probas (événements incompatibles, événements contraires) que tu as bien apprises, bien sûr.

Cordialement.

[Teddy-mension]

Alors que tu connais (calculette) P(0<X<2), que P(X<0) est évident (cours) et que tu cherches P(X>2) depuis le début ....

Juste, pour être pointilleux, la variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, c'est . Et sinon, est calculable directement, pas besoin de passer par .

[gg0]

Effectivement,

c'est Y.
Mais même si sa calculette donne le résultat directement (qu'est-ce que j'en sais ?), le raisonnement facile sur les événements est bien plus important à faire que taper sur les touches.
A moins qu'on soit dispensé de raisonner en maths en TS ???

Cordialement.

[Teddy-mension]

Non je vous rassure, le raisonnement en maths en TS est même fortement recommandé, d'ailleurs je ne vous ai pas dit que ce que vous disiez était n'importe quoi, mais juste qu'il y avait une méthode plus rapide.
Parce qu'en TS, on nous apprend aussi à chercher la méthode la plus rapide pour avancer le plus efficacement possible lorsque le temps est limité, comme lors des devoirs..

[Fanny39]

Salut gg0,
donc pour tout te dire, je suis assez nulle en maths (je ne suis pas en TS pr ça ^^), donc réfléchir pour moi (en maths) bah c'est pas si facile. Et je suis donc assez longue pour faire des exos donc la calculatrice me sert bcp oui =).
Je sais que :
P(0<Y<2) = 0,4772 et P(Y>0)=1/2
donc je fais :
1/2 - 0,4772=0,0228

[Fanny39]

Salut Teddy-mension,

Merci pour ton aide.
Non je on n'a pas vu comment se servir de la fonction Inverse normal sur la calculatrice et j'ai une casio 35+
Si mon calcul et mon résultat est juste pour a question 1 alors c'est bon pour la question 2 mais il reste tjr cette fameuse question 3 avec les "t" sur la calculatrice...

Merci beaucoup à vous deux, d'avance.

[Teddy-mension]

P(0<Y<2) = 0,4772 et P(Y>0)=1/2
donc je fais :
1/2 - 0,4772=0,0228

Oui c'est bon ça !
Sinon, je me demande comment on peut te donner un exercice comme ça si on ne vous apprend pas à vous servir de votre calculatrice.. Tu sais au moins te servir de l'outil "Ncd" ?

[Fanny39]

ah ouf =) merci lol =)

Ah les profs, allez les comprendre lol ^^ !!!
Donc oui je sais me servir de celui "d'outil".
J'ai : "NormCD(0,2,1,0) (pour notre exercice par exemple pr une partie de la question 1)
Pour Normal inverse,
j'ai "InvNormCD(..)" donc je dois mettre mes données entre les parenthèses mais je ne sais pas comment les mettre vu que j'ai ce "t"..

[gg0]

Tu n'as pas un mode d'emploi ?

[Fanny39]

si mais j'ai regardé et ce n'est pas marqué. Il y a bien des exemples mais c'est pour d'autre calculs.
Et sur mon livre il aide que pour la loi normal (pas inverse)..

[Teddy-mension]

J'ai également une Casio GRAPH 35+, mais j'ai un vieux modèle. Donc je ne peux pas déterminer directement tel que
Peut être que toi tu en as la possibilité, mais au cas où, et même, pour faire travailler ton raisonnement (dédicace à gg0 !), qui, je l'avoue, est important, je te propose une autre méthode, générale:
Soit la variable aléatoire suivant une loi normale de paramètres connus. On connait , et on cherche .
On a (Je te conseille de suivre ça en faisant un schéma si tu as du mal, vraiment.)
Et à partir de là, est accessible à toutes les calculatrices.

En effet, on se retrouve avec la forme , avec un réel (ce que tu cherches) et un résultat connu. (cf. le message #14).
Or, dans le menu "InvN", si tu rentres:
L'aire (ici c'est ), et les paramètres de ta loi normale suivie par , on va te donner .

Je t'ai haché le travail, tu n'as plus qu'à appliquer la méthode. (Si tu n'as pas compris, hésite pas)

[Fanny39]

Oui tu m'as haché le travail mais ça doit être en plus d'être nulle en maths, vu l'heure j'ai encore plus de mal lol..
Je te remercie beaucoup en tout cas pour ta formule générale (elle est notée ^^).
Mais tu m'as dit de prendre k' c'est 0.5 ou le résultat de P(Y<-t/20)= (0.5-1)/-2 = 0.25 ?
Et tu me dis de prendre X, enfin Y mais je ne l'ai pas.. A moins que ce soit la réponse à la Q1)..

[Teddy-mension]

Dans ton exemple à la fin, tu auras bien , avec , pour reprendre mes lettres. Pour , bien sûr que si, tu connais ses paramètres, puisque cette variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite.
Ensuite il te suffit juste de rentrer les infos nécessaires dans ta calculatrice: "Area", "" et "", et la calculatrice va te donner "", tu l'auras compris.
Mais de toute façon ne t'inquiètes pas, si tu n'as pas encore travaillé cette méthode en classe, ça ne va pas tarder à mon avis, et cet exercice était peut être juste un exercice introductif pour voir comment vous alliez "réagir".

[Teddy-mension]

(Au passage, , lorsque l'on cherche et que l'on connait , ne marche que si suit une loi normale avec . Sinon, et ne sont pas "à la même distance" de , et on comprend que c'est plus possible.)