Périmètre minimal

[invite4b21069e]

Bonjour,
Je souhaiterais avoir de l'aide pour mon devoir maison de maths, je suis en première s et je n'arrive pas à faire l'un des exercices. Voici l'énoncé :
Parmi tous les rectangles d'aire fixées S (S>0), démontrer que c'est le carré qui a le périmètre minimal.
J'ai commencé à le faire et voici ce que j'ai fait :
On sait que le périmètre d'un carré X², que celui du rectangle, P, (dont on note L la longueur et L+x la largeur) est égal à 4L+2x.
Et que l'aire d'un rectangle, A, est égal à L*(L+x)
Donc comme P=4L+2x alors L=(P-2x)/4. On a : A=L²+Lx
A=[(P-2x)/4]²*[((P-2x)/4)x]
A=(P²/16)-(x²/4)
Et après je n'y arrive pas. Merci d'avance !
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[gg0]

Bonjour.

Tu es parti dans des calculs sans tenir vraiment compte de l'énoncé !!
Déjà, parler du carré, bof ! Ce sera dans la conclusion. on te parle de rectangles, et de leur périmètre. Ensuite, on te dit que ces rectangles ont tous pour aire S. Je ne vois aps de S dans tous tes calculs ...

Donc reprends en utilisant ce que dit l'énoncé, ce sera très simple (tu étais parti sur une bonne idée).

Cordialement.

[invite4b21069e]

Donc si j'ai compris S=P²/16-x²/4 donc S-x²/4=P²/16
16S+4x²=P² --> P=4S+2x, or l'air étant fixée, le périmètre est minimal quand 2x l'est aussi donc : 2x=0 --> x=0.
Donc la longueur et la largeur du rectangle sont égales pour tous les rectangles d'air fixée S (S>0).

C'est bien cela ?

[gg0]

Attention !

"16S+4x²=P² --> P=4S+2x" est faux.
Tu connais les identités remarquables ?

mais il est facile de voir (*) que P est minimal quand P² l'est ...

Cordialement.

(*) sens de variation de la fonction p --> p² pour p>0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b21069e]

Donc étant donné que P² et P ont les mêmes variations et que l'aire du rectangle est fixée, le périmètre : P² est minimal lorsque 4x²=0 --> x=0. Alors P²=16S --> P²=16L² --> P=4L soit le périmètre d'un carré ?

[gg0]

Oui.

Ou plus simplement, si x=0, alors ...

[danyvio]

En prenant comme notation L=Longueur, alors largeur = L-x (avec x > ou =0)

: S=L(L-x)
Pour que S soit max, x= ???