Bonjour
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme.
1. Justifier l’existence du polynˆome minimal Πf de f.
2. Pour tout vecteur x de E, on note :
– Px le polynˆome unitaire de K[X] de plus bas degr´e tel que Px(f)(x) = 0. Ce
polynˆome est appel´e polynˆome minimal de x relatif `a f.
– Ex = {P(f)(x), P ∈ K[X]}.
3. (a) Montrer que Px existe et est unique, et que de plus si P(f)(x) = 0 avec P ∈
K[X], alors Px divise P.
(b) Montrer que Ex est un sev de E de dimension deg (Px).
4. (a) Si Ex ∩ Ey = {0}, montrer que Px+y = ppcm(Px, Py). G´en´eraliser `a p vecteurs
x1, ..., xp.
(b) Si Px et Py sont premiers entre eux, montrer que Ex+y = Ex ⊕ Ey. G´en´eraliser
`a p vecteurs x1, ..., xp.
5. (a) Soit M ∈ K[X] un facteur irr´eductible de Πf , α sa multiplicit´e dans la d´ecomposition
de Πf en facteurs irr´eductibles dans K[X]. Montrer qu’il existe un vecteur x
de Ker (Mα
(f))tel que Px = Mα
.
(b) Montrer qu’il existe x ∈ E tel que Px = Πf .
merci d'avance.
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