DM Paraboles 2°

[batang94]

Bonjour tout le monde, j'ai un DM à faire pendant les vacances et j'aimerai que vous m'aidez.

Enoncé: La fonction f est représentée par une parabole qui passe par les points A(-3;0) et B(-1;0) et qui a pour axe de symétrie la droite d'équation x = -2.
Trouver l'expression de f , en donnant cette expression sous sa forme canonique f(x) = a(x-alpha)²+bêta (je n'ai pas pu mettre les signes donc je les marque littéralement)
Ma réponse: alpha = ((-3)+(-1))/2 donc -2
mais pour Bêta, je bloque et je sais pas par quoi continuer :s
Merci de votre aide
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[S321]

Bonjour,

Votre énoncé n'est pas complet. Il y a plusieurs paraboles qui passent par ces points A et B et ayant pour axe de symétrie la droite d'équation x=-2.
Si f est représentée par une telle parabole alors 2f l'est aussi.

[PA5CAL]

Bonjour

Il se trouve que le point B est le symétrique du point A par rapport à l'axe que tu as indiqué. Par conséquent, sur les trois informations nécessaires pour définir la parabole, une est redondante et inutilisable.

Commence donc par vérifie donc si tu n'as pas fait une erreur en recopiant l'énoncé.

S'il n'y a pas d'erreur, cela signifie que tu ne pourras pas mieux faire que trouver la valeur d'un coefficient de ton équation et une relation entre deux autres coefficients. Et alors, comme tu as déjà trouvé α=-2, il te resterait par exemple à exprimer β en fonction de a, ou l'inverse.

[batang94]

Bonjour,
Voici l'énoncé: La fonction f est représentée par une parabole qui a pour axe de symétrie la droite d'équation x= -2. Cette parabole passe par les points A(-3;0) et B(-1;0). Trouver l'expression de f (on pourra donner cette expression sous la forme f(x) = a(x-α)²+β )

Merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[PA5CAL]

Ma réponse permet de répondre à la question posée sous cette forme : il suffit de reporter la valeur de α et l'expression β en fonction de a (par exemple) dans l'expression de f(x).

[batang94]

Désolé mais je n'ai pas très bien saisi la méthode..

[PA5CAL]

Maintenant que tu sais que α=-2 (ce qui signifie seulement que l'axe de symétrie est situé à x=-2), tu peux par exemple utiliser le fait que la parabole passe par le point A (en écrivant que f(x_A)=y_A avec les valeurs connues). Tu obtiens alors une relation en a et β qui te permet de réécrire l'expression f(x) en fonction de a uniquement.

[batang94]

Alors si je récapitule bien:
f(-3) = 0
f(-3) = a(-3+2)²+β = 0

f(-1) = 0
f(-1)= a(-1+2)²+β=0

Donc
f(-3) = a x (-3)² + b x (-3) + (-2) = 0
f(-1) = a x (-1)² + b x (-1) + (-2) = 0

Je vois donc que je peux faire un système d'equation à 2 inconnus, qu'en dites-vous ?

[PA5CAL]

Je ne vois pas comment tu obtiens les deux lignes après le "Donc".

Si tu calcules bien, les équations :

a(-3+2)²+β = 0
a(-1+2)²+β=0

devrait toutes deux donner :

a+β=0

On a :

(-3+2)²=(-1)²=1
(-1+2)²=(1)²=1

Donc β=? ... f(x)=? ...

[batang94]

Je me suis aidé de ax²+bx+c mais je crois que je me suis trompé..

Alors β= -1

Donc f(-3) = a(-3+2)²+(-1) = 0
Je résous ainsi l'équation pour trouver a :
f(-3) = a*1+(-1) = 0
= a-1= 0
a = 1

Donc f(-3)= 1(-3+2)²+(-1) = 0 et f(-1) = 1(-1+2)²+(-1) = 0

[PA5CAL]

Alors β= -1

Ah bon ? Ça sort d'où ?

Que penses-tu de la parabole d'équation f(x) = 10·(x+2)²–10 ?
- Passe-elle par le point A ? ( f(-3)=? )
- Passe-elle par le point B ? ( f(-1)=? )
- A-t-elle la droite verticale d'abscisse -2 comme axe de symétrie ? ( f(-2+d)=f(-2-d) quel que soit d, ou pas ?)

À quelles valeurs de a, α et β cette équation correspond-elle ?

... Conclusion ?

[batang94]

Ah moi qui espérait que β= -1 ..
C'est β= -a !
Ainsi, si on prends pour f(-3) = a(-3+2)²+β avec β= -a
ça donne: a(x+2)²-a
= 1a-a = 0
a-a = 0
a = -a ou a = -β

Donc pour n'importe quel valeur, il faut que a = -β et β = -a
Et conclusion, l'expression de f(x) = a(x+2)²-β ou -a(x+2)²+β

[PA5CAL]

Et conclusion, l'expression de f(x) = a(x+2)²-β ou -a(x+2)²+β

... Sauf que ne n'est pas la conclusion, puisque tu n'as pas encore remplacé β par sa valeur dans l'expression.

Le résultat final ne doit plus dépendre que d'un paramètre (en l'occurrence a).

[batang94]

Alors f(x) = a(x+2)²+(-a)

[PA5CAL]

Alors f(x) = a(x+2)²+(-a)

Voilà, c'est ça.

Bon, après il n'est pas interdit d'écrire ça de façon plus présentable, comme : f(x)=a·(x+2)²–a

[batang94]

avec biensûr a ≠ 0 . Merci beaucoup de m'avoir aidé !