Simple équation que je ne sais plus résoudre...

[invite7f6997ad]

Bonjour,

Je cale devant un problème tout simple, mais que je ne sais plus résoudre...

Soient n, m, p des constantes connues telles que n + m + p = 1 avec 0<n<1 ; 0<m<1 ; 0<p<1

Soient x, y, z trois inconnues et C une constante connue telles que :
x>0 ; y>0 ; z>0 ; C>0
x + y + z = C

Notons T = x.n + y.m + z.p

Question : quelles sont les valeurs de x, y, z pour que la valeur de T soit optimum ?

Pour être clair, par T optimum, je veux dire la valeur max atteignable par T avec les constantes n, m, p...

Merci d'avance pour votre aide !
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[invite621f0bb4]

Il me semble bien que n + m + p = 1 ait une infinité de solution...
Du coup pour la suite, j'imagine que ça change tout ?

[invite936c567e]

Bonsoir

La solution consiste à maximiser le coefficient (x, y ou z) correspondant à la plus grande constante (n, m ou p).

Si par exemple n>m et n>p alors idéalement on aurait intérêt à prendre x=C et y=z=0. Comme ici x, y et z ne peuvent être nuls, il faudrait choisir le plus petit ε possible, et poser y=z=ε et x=C–2ε .

Je te laisse réfléchir à la démonstration.

[invite7f6997ad]

j'ai fait une erreur dans l'énoncé...
Désolé...

la ligne :
Soient n, m, p des constantes connues telles que n + m + p = 1 avec 0<n<1 ; 0<m<1 ; 0<p<1

est à annuler et à remplacer par :
Soient n, m, p des constantes connues telles que n>m>p avec 0<n<1 ; 0<m<1 ; 0<p<1


Exemple :
C = 100000
n = 0,6
m = 0,4
p = 0,2

pour x = 40000; y = 30000; z = 30000
alors T = 24000 + 12000 + 6000 = 42000

pour x = 50000; y = 30000; z = 20000
alors T = 30000 + 12000 + 4000 = 46000

Et donc, mon problème consiste à trouver x, y, z pour que T soit max...
La réponse doit vraisemblablement s'exprimer en fonction de n, m et p.

Merci pour votre aide !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite936c567e]

Ça ne change pas ma réponse.

n étant le plus grand coefficient, il suffit de maximiser x.

On pose x=C–2ε et y=z=ε avec ε le plus petit possible. Ici on obtient T≈60000.

[invite7f6997ad]

Merci pour cette aide !