Résoudre une équation du troisième degré

[invite39f39e37]

Bonjour,
j'aimerai savoir s'il existe une méthode pour résoudre les équations du troisième degré ressemblante à celle des équations du second degré, c'est à dire un x1 un x2 et un x3 faciles à trouver avec un "delta" (b^2-4ac) indiquant le nombre de racines réelles. J'ai déjà essayé plusieurs fois de factoriser l'équation du 3 ème degré en une équation du second degré et une fonction du premier, mais j'arrive à chaque fois à 3 équations à 3 inconnues où il faut résoudre une équation du troisième degré...
Donc quand l'équation est: (mx+p)*(ax^2+bx+c) et que je veux trouver par exemple la solution -p/m je la veux en fonction et uniquement en fonction des coefficients des x dans l'équation du troisième degré (tx^3+rx^2+ux+z) (ici t,r,u et z sont les coefficients dont je parle)
J'ai aussi essayé d'utiliser la division euclidienne des polynômes pour factoriser de "façon générale" mais les calculs prennent vite beaucoup de place et je n'arrive pas a obtenir ce que je veux. Puis j'ai essayé de factoriser avec les dérivées (ça marche pas), puis par f(x+1)-f(x) (ça marche pas), puis j'ai essayé de résoudre avec la géométrie sur le graphe (j'ai pas encore essayé à fond), ensuite j'ai essayé de faire varier un par un "les coefficients des x" et voir comment variaient les racines sur le graphe... Ensuite j'ai tenté de faire comme dans la "méthode de complétion du carré" mais avec du cube, je me suis vite rendu compte que ça ne marchait pas puisque le coefficient de x^2 et x devaient avoir une relation. Puis tenté de factoriser par a(x+z+r)^3 +c (ça marche pas), puis débuté dans les équation différentielles mais avec ce que je sais je ne peux rien faire... Je ne voudrais pas "LA réponse" je voudrais juste savoir s'il est possible de trouver les solutions comme avec une équation du second degré et avoir un petit indice sur le chemin à prendre. ( Tout ceci dans le but de ne plus utiliser la division euclidienne, de tenter de résoudre n'importe quelle équation du n ème degré à n+1 termes et de m'amuser bien sûr )
Merci d'avance!
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[invitebbd6c0f9]

Bonjour hum " .___. " ,

Déjà, désolé de ne pas avoir les compétences requises pour pouvoir vous répondre aisément sur la première partie de votre questionnement. Pour ce qui est de la suite,

Tout ceci dans le but de ne plus utiliser la division euclidienne, de tenter de résoudre n'importe quelle équation du n ème degré à n+1 termes et de m'amuser bien sûr

Sauf erreur, le troisième degré est le dernier degré accessible à la résolution de n'importe quelle équation.

Je doute donc qu'on puisse résoudre les équations de degré 5 ou 63, sauf si elles sont simplfiables.

Cordialement.

[danyvio]

On sait résoudre "facilement" le polynôme du 3ème degré (voir google polynome degre 3). Il est possible (je ne sais pas faire) résoudre jusqu'au 5ème degré inclus par des méthodes dites algébriques. Au delà ce n'est pas possible (sauf solution(s) évidente(s) )

[gg0]

Très exactement :
On sait résoudre par des opérations algébriques dans les équations de degré au plus 4 de façon générale. Pour les équations de degré supérieur, certaines ont des méthodes (groupe de Galois résoluble) d'autres non.
On sait résoudre dans les équations de degré au plus 2 algébriquement, certaines équations de degré 3 ou 4, certaines équations de degré supérieur. Mais pas de méthode algébrique générale pour le degré 3 (ou plus).
Je rappelle que :
* "algébrique" signifie ici l'usage des 4 opérations, des puissances et racines carrées, cubiques, ...
* Le fait qu'on ne sache pas ne résulte pas d'un manque de connaissances, mais d'une impossibilité prouvée.
* Ces questions s'étudient dans des cours d'algèbre de niveau bac+3 et bac+4.

quand l'équation est: (mx+p)*(ax^2+bx+c) et que je veux trouver par exemple la solution -p/m je la veux en fonction et uniquement en fonction des coefficients des x dans l'équation du troisième degré (tx^3+rx^2+ux+z) (ici t,r,u et z sont les coefficients dont je parle)

Si -p/m est la seule solution, on sait faire (méthode de Cardan). S'il y en a deux autres, et que les trois solutions sont distinctes, alors pas de méthode algébrique générale (bien que dans certains cas on puisse trouver une écriture algébrique de la solution). Il s'agit d'un théorème d'impossibilité bien établi.

Mais tu fais bien de chercher, '.___."c'est un excellent état d'esprit.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621f0bb4]

J'ai peut-être mal lu ton petit texte mais as-tu essayé la factorisation avec racine évidente ?
De type
(x-x')(ax²+b+c)
Où x' est solution du polynôme de degré trois. Pour la trouver tu testes -2, -1, 0, 1 et 2...
Et après tu trouves a, b et c par identification.

[gg0]

Bonsoir Samuel,

la méthode n'est pas très pratique pour .

[invite621f0bb4]

En effet, mais quand ça peut fonctionner... Enfin là -____- semble plutôt rechercher une méthode générale donc ma méthode n'est pas très bonne en effet...

[invite39f39e37]

Bonjour,
tout d'abord merci pour toutes vos réponses!
En attendant vos réponses que je n'ai pu voir que maintenant, j'ai réfléchis un peu plus, je trouve ça fascinant qu'on ne puisse pas résoudre une équation du 17 ème degré (par exemple) "facilement"! On dirait des cadenas sans solutions O_o. Apparemment il n'y a pas méthode générale pour tout ce qui est au dessus du degré 3... dommage. Mes dernières idées étaient de déformer les axes y et x, de faire une analogie avec la fonction du second degré: On fait la différence entre les deux solutions de l'équations, on fait cette différence multipliée par "c" (ax^2+bx+"c") et on divise par racine(delta), on obtient donc c/a qui est égal à la multiplication des solutions, ensuite je tente de faire pareil pour l'équation du troisième degré "juste pour tester". J'avais aussi réfléchis au fait que l'exposant maximum de l'équations du troisième degré était un nombre impair et que peut être qu'il aurait été plus facile d'essayer avec une équation du 4 ème degré (Par exemple avec 4 solutions je peux les imaginer sous forme d'une racine avec un exposant pair dans une racine avec un exposant pair aussi. Ou bien essayer de trouver les points d'intersection entre x^3 et une parabole...( d'où l'idée de déformer les axes afin de compenser la forme de x^3 avec l'axe y et obtenir une droite ou bien de faire pareil avec l'axe x pour ne pas avoir une pente infinie) Je ne peux pas m'empêcher de penser qu'il existe une manière plus "générale" qu'on ne connaisse pas.

[inviteea028771]

Pour les équations de degré 3, on connait la méthode de Cardan, tandis que pour les équations de degré 4, on peut utiliser la méthode de Ferrari.

Ces méthodes sont accessibles à des lycéens connaissant les nombres complexes, même si elles sont pénibles et lourdes en calcul


Pour l'impossibilité de résoudre (par radicaux) les équations de degré supérieur à 4, on peut lire cette page wikipédia qui présente le théorème d'Abel. Par contre, c'est un résultat plus compliqué qui a nécessité d'inventer de nouveaux concepts