Mesure de distance dans une ellisoïde 3D

[invitee4f28233]

Bonjour à tous,

Je peine sur une question de géométrie que j'énoncerai ainsi :

J'ai une ellipsoïde avec les coordonnées de ses 3 vecteurs (Ax, Ay, Az ; Bx, By, Bz ; Cx, Cy, Cz) (ellipsoïde 3D donc), la longueur des 3 axes (La, Lb, Lc), les coordonnées du centre de l'ellipsoïde qui n'est pas centrée en 0 (Xe, Ye, Ze) ainsi que les coordonées du centre d'un objet d'intérêt contenu dans l'ellipsoïde (Xo, Yo, Zo).

Je m'intéresse donc à cet objet :
Le calcul de la distance entre le centre de l'ellipsoïde et l'objet est plutôt trivial : Distance = sqrt( (Xo-Xe)² + (Yo-Ye)² + (Zo-Ze)² );

Par contre, le calcul du rayon R de l'ellipsoïde passant par cet objet (dans la direction du vecteur Distance donc) me donne du fil à retordre !!
J'ai bien tenté en passant par des coordonnées sphériques, mais je m'emmêle les pinceaux...

Si une bonne âme voulait bien prendre un peu de son temps..
Merci !
TtC.
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[invite51d17075]

Par contre, le calcul du rayon R de l'ellipsoïde passant par cet objet (dans la direction du vecteur Distance donc) me donne du fil à retordre !!
.

bonsoir,
c'est cette phrase qui me donne du fil à retordre.
que veux-tu dire ?
dans tous les cas le mieux n'est-il pas de le replacer dans un repère adhoc ou
x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, pour simplifier les calculs par la suite ?

[invitee4f28233]

Je souhaite calculer la distance du centre de l'ellipsoïde au bord de l'ellipsoïde dans la direction du vecteur Distance, soit le rayon R de l'ellipsoïde passant par l'objet d'intérêt centré en (Xo, Yo, Zo).
L'équation cartésienne de l'ellipsoïde est bien de la forme x²/a²+y²/b²+z²/c²=1, mais je n'arrive pas à aller plus loin...
Merci pour ta réponse

[invite51d17075]

ben O,M° et M sont alignés
donc
VM=kVM°
et M appartient à l'ellipsoide donc satisfait l'équation.
tu retrouves k²=...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4f28233]

Bonjour Ansset,
C'est exactement ça sauf que je n'arrive pas à dérouler correctement le calcul, je me pers à un moment...
en coordonnées sphériques, cela me donne :
x = D.sin(phi).cos(theta)
y = D.sin(phi).sin(theta)
z = D.cos(phi)

Je peux remonter à phi et theta puisque je connais les coordonnées de mon objet d'intérêt ainsi que la distance D du centre de l'ellipsoïde au centre de mon objet d'intérêt. Comme tu le dis très bien, VM=kVM°. Est-ce que phi et theta gardent la même valeur ?
Suis-je dans la bonne direction ?

[invite51d17075]

pourquoi changeraient-ils.?
d'ailleurs je suppose que normalement ils disparaissent à la fin
fais le calcul.
sin²+cos² =1 !

[invitee4f28233]

après avoir déroulé le calcul j’obtiens donc
VM' = k.VM

x'=k.V.sin(phi).cos(theta)
y'=k.V.sin(phi).sin(theta)
z'=k.V.cos(phi)

en remplaçant ces coordonnées dans le repère cartésien il vient :

k.V = sqrt( a²/sin²(phi).cos²(theta) + b²/sin²(phi).sin²(theta) + c²/cos²(phi) )

mais après vérifications, la valeur que j'obtiens ne semble pas être la bonne...
surtout, je me demande si c'est normal de ne pas utiliser dans le calcul les coordonnées des axes abc {(Ax, Ay, Az), (Bx, By... } ?

[invite51d17075]

il me semble qu'il vaut mieux faire un cgt de repère matriciel avant !
de façon à avoir réellement
x'²/a²+...=1

[invite51d17075]

en plus tu fais un truc à moitié, puisque tu ne tiens pas compte qu'au départ le centre de l'ellipsoide n'est pas en 0.

[invitee4f28233]

Merci pour tes remarques ansset, mais je n'en reste pas moins bloqué.
Bonne soirée

[invite51d17075]

je crains que tes calculs ne soient faux.
mais ils apparaissent pas bouts.
et ce sont les x' qui satisfont la forme canonique.
ce serait mieux de montrer ton developpement, ou bien je dois reprendre depuis le début.

on peut essayer autrement.
dans le nouveau repère ( avec le centre en 0,0,0 )
x'²/a²+...=1
x'=kx°' ( x°' coord en x du point X'° dans le nouveau repère )
d'ou celà devient
k(x'°²/a²+...)=1 d'ou
k=1/(....)
ce qui n'est pas ce que tu as ecris en inversant le 1/(..)
j'ai l'impression que tu as inversé par morceau et pas la totalité.

[invitee4f28233]

Effectivement, je dois me tromper au niveau du changement de repère. Je ne sais pas vraiment comment le prendre en compte à vrai dire.
Pour ce qui est de l'inversion par contre, je vois pas où pourrait être mon erreur.

Ma formule finale est

k.V(phi, theta)=(a²b²c²)/( b²c²sin²(phi).cos²(theta) + a²c²sin²(phi).sin²(theta) + a²b²cos²(phi) )

et je remonte à phi et theta via

cos(phi) = V / Vz et cos(theta) = sin(phi)/Vx,
avec (Vx, Vy, Vz) coordonnées de mon objet d'intérêt

[invite51d17075]

soit le nouveau repère orthonormé dans lequel ton ellipsoide a pour equation
x'²/a²+y'²/b²+z'²/c²=1
soit ( x'°,y'°,z'°) les coord de ton point dans CE repère
du centre on a
VM'=kVM°
donc k²(x'°²/a²+...)=1 ( les a,b,c ) ne change pas
k²=1/(x'°²/a²+...) donc k
il suffit donc de connaitre les coord de ton point M° dans ce nouveau repère.
donc les x'°,y'°,z'° en fonction des x°,y°,z°
et cela en utilisant le chgt de repère qui va du repère initial au repère ou l'équation analytique est "belle"en fonction des vecteurs qu'on t'a donnés.


j'ai supposé que ton repère de base était lui même orthonormé.

[invitee4f28233]

Merci ansset, tu viens de me confirmer qu'en fait mes calculs étaient corrects dès le début !
Avec deux manières différentes, j'arrive au même résultat : le soft qui me permettait de vérifier mon calcul m'induisait en erreur dès le début...
Désolé pour le dérangement, et surtout merci pour le temps accordé !

++

[invite51d17075]

content pour toi.
1) j'ai eu du mal à saisir ton raisonnement au départ.
2) nos discussions étaient un peu trop étalées dans le temps et du coup , on a perdu un peu de temps je crois.
a bientôt peut être.
bonne soirée.