logarithme bis

[invitee1e695c8]

Bonjour a tous,

Je bloque sur cet exercice.

Une entreprise A qui a réalisé un CA de 67.5*10^6 euros en 2010 et qui prévoit une croissance annuelle de 6.5%
Une entreprise B qui a vu passer son CA de 82.1*10^6 euros en 2007 à 89.7*10^6 euros en 2010.

Quand les chiffres d'affaires des deux entreprises seront ils égaux ??

Mon raisonnement:

A. croissance de 6.7% = 1.065 chaque année
B. 89.7*10^6 - 82.1*10^6 = 7600000
(1/3)*7600000 / 82.1*10^6 = 0.030 = 1.03 chaque année

Ensuite je bloque

89.7*10^6 * 1.03^x = 67.5*10^6 * 1.065^x

89.7*10^6 / 67.5*10^6 = 1.065^x / 1.03^x ?????

Est ce correct et/ou comment continuer ??

Merci pour votre aide.
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[invitee1e695c8]

petite coquille dans mon raisonnement:

La croissance de l'entreprise A est bien de 6.5%

A. croissance de 6.7% = 1.065 chaque année >>>>> FAUX
A. croissance de 6.5% = 1.065 chaque année >>>>> VRAI

[invite8ab5fa54]

Le raisonnement est correct(si on suppose que la croissance de l'entreprise B est exponentielle aussi ) . Mais, mais ...
Titre : Logarithme Bis
Et tu demandes comment continuer ? Il suffit de passer les deux membres de l'égalité au logarithme (ce qui est bien équivalent car le logarithme est bijectif). C'est la méthode à employer lorsque tu a des équations avec des termes en puissance de x car cela linéarise l'équation en x .

[gg0]

Bonsoir.

Tu en as beaucoup encore de ces exercices malsains ? Ce n'est pas toi qui es visé, mais ton prof, ou le bouquin d'où sortent ces exercices idiots : Le chiffre d'affaires se calcule annuellement, il n'y a aucune raison qu'il puisse être le même d'une entreprise à l'autre.

Bon, pour toi, l'idée est de savoir à quel moment quelque chose qui augmente continument de 6,5% par an à partir de 67.5*10^6 va rattraper quelque chose qui augmente continument de 3% par an à partir de 82.1*10^6. Soit x ce temps en années. Alors on veut
67.5*10^6*1,06^x=82.1*10^6*1,03^x

Mais bien évidemment c'est peu sérieux : Non seulement le 6% est seulement une prévision (donc probablement faux comme toutes les prévisions), mais il n'y a pas de raison que la variation de CA de la deuxième entreprise soit régulièrement celle qu'il y a eu en moyenne sur 3 ans.

Une remarque : Une croissance de 3% par an sur 3 ans à partir de 82.1*10^6 ne donne pas 89.7*10^6. Ton 3% n'est pas tout à fait juste. Mais c'est bon pour faire cet exercice.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee1e695c8]

@ gg0: Oui ils sont assez tordu... ils sortent de la tête de mon prof ^^

Je suis d'accord avec l'idée que la situation est difficilement admissible mais pour autant c'est bien son intitulé.

Comment continuer ? Parce que je suis coincé...

@ Noct: "Il suffit de passer les deux membres de l'égalité au logarithme". Mais quelle est donc cette méthode ?

[invite8ab5fa54]

car les expression sont positives et que la fonction logarithme népérien est bijective . Ensuite tu utilise les propriétés de ln que tu connais ( "transformation du produit en somme" ) pour sortir x.

[invitee1e695c8]

je ne m'en sort pas...

Je crois qu'un rappel de cours me ferait le plus grand bien.
Comment sortir ce x ?

[invite8ab5fa54]

et . Cela ne te dit rien ?

[invitee1e695c8]

ln (a^x) = x*ln(a)

Si, mais je crois ne l'avoir jamais appliquer.

Mon résultat:
x*18.34154013 = x*18.09061296

Mais je suppose que ce n'est pas fini (si tant est que ce soit bon)
Comment interprêter ce résultat ?

[invite8ab5fa54]

Non non ce résultat est certainement faux . Relis tes calculs et relis bien attentivement les formules que je t'ai donné .

[invitee1e695c8]

Je ne vois pas comment appliquer ln(a*b) = ln(a) + ln(b) et ln(a^x) = x ln(a)
dans 67.5*10^6*1.06^x = 82.1*10^6*1.03 >>> ln (67.5*10^6*1.06^x) = ln(82.1*10^6 * 1.03^x)

??

[invite8ab5fa54]

>>>
>>>

[invite5e148d1e]

il s'agit d'une suite géométrique de raison la croissance annuelle+1! et non pas d'une suite arithmétique! donc il faut extraire la racine cubique au lieu de diviser par 3, je penses que cette opération est fausse: (1/3)*7600000 / 82.1*10^6 = 0.030 = 1.03