Une limite qui me casse la tete !!

[invited26df902]

je voudrais calculer cette limite aidez moi svp

j ai essayé plusieurs méthodes mais toujours je me trouve face à une impasse


lim(racine(x+1)-racine(x))ln(x) quand x tend vers +infini

merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Tu peux penser à la quantité conjuguée.

[invitec8e03ff9]

tu doit mètre racine (x) en facteur tu trouvera -infini comme limite

[invitec8e03ff9]

tu doit mètre racine (x) en facteur tu trouvera -infini comme limite n'oublier pas que (lim racine(x+1)/racine(x) = 1 en +infini

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Mettre en facteur ne permet pas de lever l'indétermination. Qui plus est, la limite ne peut être puisque la quantité est positive pour (la limite est en fait nulle).

[invited26df902]

ca n a pas marché

[Seirios]

Tu pourrais plus précis ? Qu'as-tu fait exactement ?

[invite621f0bb4]

En tout cas Seirios j'ai essayé la quantité conjuguée et j'arrive à une nouvelle indétermination... J'ai peut-être fait une erreur quelque part.

[Seirios]

En principe, on doit pouvoir se ramener à une limite classique de la forme , qui est nulle.

[invite621f0bb4]

Je vais pas dire ce que j'ai trouvé parce que ça donnerait sans doute quasiment la réponse à MEDEFMPO.

[invite0f0b77a0]

Effectivement,

Il faut simplement multiplier par [ racine(x+1) + racine(x) ] puis reconnaître l'identité remarquable alors présente au numérateur. Le résultat vient ensuite immédiatement et la limite est bien 0.

[invite621f0bb4]

Ha oui ok, j'ai re-regardé et en fait oui. Mais il faut quand même procéder par un encadrement pour être rigoureux, c'est bien ça ?

[Seirios]

À quelle étape ? Dans mon raisonnement, je n'ai pas d'encadrement.

[invite5e148d1e]

en fait cette formule tend vers 0 quand x-->+oo et voici ce que je propose comme preuve!
l’idée est de mettre toute la formule sous l’exponentielle et voir ou ça va tendre,
on a lim (x-->+oo) exp((racine(x+1)-racine(x))ln(x))=exp(ln(x))^ra cine(x+1)-racine(x)=x^[racine(x+1)-racine(x)]
donc il faut etudier la fonction racine(x+1)-racine(x) qui est strictement décroissante (un simple calcul du dérive le montre) et minorée par 0 puisque racine(x+1)>racine(x) (la fonction racine carre est strictement croissante) donc quand x--->+oo, racine(x+1)-racine(x) tend vers 0 d'ou lim(x-->+oo) exp((racine(x+1)-racine(x))ln(x))=x^[racine(x+1)-racine(x)] =x^0=1
or puisque l'exponencielle est une bijection sur R+ et exp(0)=1 on a donc im (x-->+oo) exp((racine(x+1)-racine(x))ln(x))=0
voila tout "simplement!"

[invite621f0bb4]

Heu, oui, enfin il y a beaucoup plus simple quand même.
Tant pis pour Medef, je mets ce quer "j'ai" trouvé.
Avec la quantité conjuguée on arrive à :

(ln(x)(x+1 - x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x))
soit :
(ln(x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x))
Je montre que c'est strictement positif et inférieur à ln(x)/sqrt(x).
D'après le théorème des gendarmes, ça tend vers 0.

[Seirios]

donc il faut etudier la fonction racine(x+1)-racine(x) qui est strictement décroissante (un simple calcul du dérive le montre) et minorée par 0 puisque racine(x+1)>racine(x) (la fonction racine carre est strictement croissante) donc quand x--->+oo, racine(x+1)-racine(x) tend vers 0

Une fonction décroissante minorée par zéro ne converge pas nécessairement vers zéro : est un contre-exemple sur .

d'ou lim(x-->+oo) exp((racine(x+1)-racine(x))ln(x))=x^[racine(x+1)-racine(x)] =x^0=1

Sauf que est une forme indéterminée. Avec ton raisonnement, on pourrait montrer que de la manière suivante : puisque , ce qui est bien entendu faux.

(ln(x)(x+1 - x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x))
soit :
(ln(x))/(sqrt(x+1)+sqrt(x))
Je montre que c'est strictement positif et inférieur à ln(x)/sqrt(x).
D'après le théorème des gendarmes, ça tend vers 0.

Une factorisation du dénominateur par permet de conclure directement.

[invite5e148d1e]

Bon pour ma démonstration j'ai un peu résonné intuitivement
Bref, dans le cas ou on multiplie par sqrt(x) on obtient:
lim(x-->oo+) sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x))*ln(x)/sqrt(x)
D'une part on a : lim(x-->+oo) ln(x)/sqrt(x)=0 (en posant X=sqrt(x) on obtient 2ln(X)/X qui tend vers 0)
D'autre part:
lim(x-->oo+) sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x))= lim(x-->oo+) sqrt(x²+x)-x
qui converge puisque sqrt(x²+x)-x>0 et on a: sqrt(x+1)>sqrt(x)
sqrt(x+1)²>sqrt(x²+x)
1>sqrt(x²+x)-x
Pour tout x>0 donc sqrt(x²+x)-x a une limite finie qu'on note L et d’après la propriété des limites:
lim(x-->oo+) sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x))*ln(x)/sqrt(x) = lim(x-->oo+) sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x))*lim(x-->oo+) ln(x)/sqrt(x)
= L*0=0
am i right?

[invite621f0bb4]

Seirios, la limite sqrt(x+1)/sqrt(x) quand x tend vers l'infini est une limite connue ?
PArce que sinon je vois pas comment conclure en factorisant par sqrt(x).

[PlaneteF]

Bonjour,

Seirios, la limite sqrt(x+1)/sqrt(x) quand x tend vers l'infini est une limite connue ?

Limite connue ou pas, tu remarqueras simplement que :

[Seirios]

lim(x-->oo+) sqrt(x)(sqrt(x+1)-sqrt(x))= lim(x-->oo+) sqrt(x²+x)-x
qui converge puisque sqrt(x²+x)-x>0 et on a: sqrt(x+1)>sqrt(x)
sqrt(x+1)²>sqrt(x²+x)
1>sqrt(x²+x)-x

Tu déduis que admet en limite en l'infini parce que l'expression est bornée ? Que dire de alors ? L'argument ne fonctionne clairement pas.

Pour tout x>0 donc sqrt(x²+x)-x a une limite finie qu'on note L

Cette expression n'a pas de sens.

Seirios, la limite sqrt(x+1)/sqrt(x) quand x tend vers l'infini est une limite connue ?
PArce que sinon je vois pas comment conclure en factorisant par sqrt(x).

En factorisant par , on trouve l'expression donnée par PlaneteF, qui converge clairement vers 1 en l'infini.

[invite621f0bb4]

Ha ben oui, oui ^^

[invite5e148d1e]

J'ai cru que j'ai envoyé un msg qui rectifie ce point mais parcequ'il y a eu un problème dans la base de donnée du forum ce msg n'a pas été envoyé :/
c'est vrai que ca ne conclue pas directement, mais on a sqrt(x²+x)-x
=x/(sqrt(x²+x)+x)
=1/(1+sqrt(1+1/x))
quand x-->=+oo 1/(1+sqrt(1+1/x)) tend ver 1/2 donc 1/(1+sqrt(1+1/x)) converge vers 1/2

[invite7c2548ec]

bonjour tout le monde :
il est facile de dire la limite tend vers avec un traceur de courbe que de prouvez ça ,

[invite5e148d1e]

bonjour tout le monde :
il est facile de dire la limite tend vers avec un traceur de courbe que de prouvez ça ,

comment ca tend vers -oo quand sqr(x+1)-sqrt(x)>0 et ln(x)>0 quand x>1??

[invite621f0bb4]

bonjour tout le monde :
il est facile de dire la limite tend vers avec un traceur de courbe que de prouvez ça ,

Il est facile de dire que quand on dit "il est facile de dire", il s'agit d'être sûr de soi !

[invite7c2548ec]

Bonjour tout le monde :

Il est facile de dire que quand on dit "il est facile de dire", il s'agit d'être sûr de soi !

Comprenez une chose Samuel9-14 que j'ai utiliser cette phrase intituler:

il est facile de dire la limite tend vers  avec un traceur de courbe que de prouvez ça  :S:,[/QUOTE]

par ce qu'ils y'a des intervenants qui utilise directement des logiciels de calcule formelle genre (mapel ,matlab,Scientific WorkPlace ,...) est prétendent avoir résolut le problème au quelle est confronter le créateur de cette discutions pour cela j'ai citer cette phrase ,néanmoins il est utile d'utiliser ces dernier pour vérification du résultat final :

Cordialement ;

[invite7c2548ec]

bonjour je réécris cette limite en latex mieux j'imagine que c'est ça la question;

[invite621f0bb4]

Non, il y a des parenthèses autour de la différence des racines

[invite7c2548ec]

salut Samuel9-14

Non, il y a des parenthèses autour de la différence des racines

bon vous me dite si c'est juste cette écriture :



Cordialement

[invite7c2548ec]

salut tout le monde attendez j'arrive pas à comprendre déjà Seiros vous à proposer une meilleurs méthode et en plus rapide pour la solution à la rigueur essayez là avant de vous perdre dans le calcul ;

Tu peux penser à la quantité conjuguée. 

Cordialement