Un peu de trigonométri(qu)e

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 08h29

Bonjour à tous !
Je prépare ma rentrée en prépa pour l'année prochaine avec quelques exos que l'on nous a conseillés de faire.
Ceux-ci sont de fin terminale mais après un mois sans maths, on perd beaucoup

Enfin j'espère que c'est ça, parce que dès le premier exo je rencontre quelques difficultés.

Je dois résoudre :
1) sin(x)=sqrt(3)*cos(x)

Et la deuxième question est :
2) Si x appartient à [2;2] vérifie sin x = 1/5, que vaut tan x ?

Ce n'est pas précisé mais j'imagine que la calculatrice est interdite...

Pour la 1), l'indiaction donnée est "se fait en une ligne"
Pour la 2), aucune fonction transcendante ne doit intervenir...

En fait je me rends surtout compte que je sais très peu de choses en trigonométrie.
Il y a un cours dessus donné avec les exos, mais avant de m'y attaquer, je pense que c'est faisable sans...

EDIt : pour la première je suis parti sur
sin(x)/cos(x)=sqrt(3)
tan(x)=sqrt(3)
mais ça fait déjà plusieurs lignes et je vois pas comment continuer sans calculatrice ^^

Je suis tenté de dire pi/3 quand même.
Parce que (sqrt(3)/2)*2/1=sqrt(3), mais je l'ai dédui "inuitivement"...

**Seirios** · 26/07/2013, 08h34

Bonjour,

Pour la 1), je pense que tu peux écrire $\text{[math]}$ . Or $\text{[math]}$ est strictement croissante sur $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ -périodique, donc il suffit de trouver une (en fait, la) solution dans $\text{[math]}$ pour en déduire toute les autres.

Pour la 2), à quel intervalle intervient $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ ?

Dlzlogic · 26/07/2013, 09h10

Bonjour,
tan(x)=racine(3) est une valeur caractéristique est exacte.

**Seirios** · 26/07/2013, 09h20

Pour la 2), en supposant que la contrainte soit bien $\text{[math]}$ , tu peux déduire de la relation $\text{[math]}$ la valeur absolue de $\text{[math]}$ . Ensuite, pour montrer que $\text{[math]}$ est positif, tu peux remarquer que $\text{[math]}$ et donner un encadrement de $\text{[math]}$ sur $\text{[math]}$ .

Au final, le résultat doit être $\text{[math]}$ .

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 26/07/2013, 09h22

Bonjour,
tan(x)=racine(3) est une valeur caractéristique est exacte.

Une solution fait effectivement partie des valeurs remarquables de $\text{[math]}$ , mais ce n'est pas la seule, et il faut bien trouver toutes les solutions.

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 09h38

Désolé, l'intervalle était [-pi/2 : pi/2], j'ia raté le copié-collé ^^

Donc pour la 1), c'est bien pi/3+2kpi du coup.

Pour la 2), le raisonnement reste correct malgré l'intervalle j'imagine. Et j'ai bien compris le raisonnement ! J'avais pas pensé à utiliser cette relation...

Merci à vous deux ! (Je reviendrais certainement assez vite de toutes façons ^^)

**Seirios** · 26/07/2013, 10h05

Envoyé par Samuel9-14

Désolé, l'intervalle était [-pi/2 : pi/2], j'ia raté le copié-collé ^^

Du coup, il est bien plus facile de montrer que le cosinus est positif... Cela dit, remplacer l'intervalle par [-2,2] rend l'exercice plus intéressant.

Donc pour la 1), c'est bien pi/3+2kpi du coup.

Plutôt $\text{[math]}$ .

**albanxiii** · 26/07/2013, 11h10

Bonjour,

Pour la 1) on peut aussi multiplier les deux membres par 1/2 et remarquer une formule connue... mais peut-être pas encore en terminale cela dit... mais en une ligne, je trouve que c'est cette façon la bonne.
Il faut connaître $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (normalement, ça c'est OK).

Si je ne me suis pas planté, je trouve que les solutions sont les $\text{[math]}$ , où $\text{[math]}$ .

@+

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 11h35

Oui c'est bien ce que je trouve !

Seirios, pour montrer que le cosinus est positif, il y a quelque chose à démontrer ? Pour moi c'est trivial.

**Seirios** · 26/07/2013, 11h46

Avec la contrainte $\text{[math]}$ , c'est effectivement évident ; avec $\text{[math]}$ , c'est plus intéressant.

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 12h47

Ok !

Allez, dans la même lignée :
3) Exprimer cos (a/2) en fonction de cos a, avec -pi<a<pi.

J'imagine que c'est l'application d'une formule mais je ne vois pas du tout laquelle.

**Seirios** · 26/07/2013, 14h27

On a $\text{[math]}$ .

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 14h30

Ha merci, je cherchais justement une formule du style cos(2a)=...

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 14h49

Heu ouais en fait même avec ça je bloque...
Avec un petit changement de variable j'arrive à cette égalité :

cos(a)=2cos²(a/2)-1
d'où :
cos(a/2)=sqrt((cos(a)+1)/2)

Mais ça me parait bizarre...

**Seirios** · 26/07/2013, 15h23

Tu as oublié une valeur absolue ; il faut donc ajouter un signe devant la racine dépendant de $\text{[math]}$ . Cela dit l'expression n'est pas particulièrement élégante...

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 16h44

C'est pour ça qu'il y avait une indication "attention au signe" ^^
Mais je vois pas trop, mettre une valeur absolue ok, mais un cosinus est toujours compris entre 0 et 1, non ? Du coup si on y ajoute un, il est forcément positif, du coup je ne vois pas où est le problème.

**Seirios** · 26/07/2013, 17h43

Un cosinus est plutôt compris entre -1 et 1

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 17h56

Heu oui bien sûr, mais ça ne change pas ce que je voulais dire.

**Seirios** · 26/07/2013, 18h57

Tu as trouvé $\text{[math]}$ ; en passant à la racine carrée, on obtient $\text{[math]}$ . Il faut donc bien faire attention au signe de $\text{[math]}$ .

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 19h05

Wow, je suis un peu perdu là je crois ^^
Il doit être positif, non ?

**Seirios** · 26/07/2013, 19h55

Oui, bien sûr, $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ : forcément $\text{[math]}$ est positif... J'ai été un peu long à remarquer ce détail

**Samuel9-14** · 26/07/2013, 20h24

Ha ok ^^
En fait s'ils n'avaient pas donné dans l'énoncé un encadrement de a, il aurait fallu le donner.

Merci beaucoup !

**fagouna** · 26/07/2013, 22h29

Pour la premiere question, c'est simple il faut trouver un lien entre cos(x) et sin(x) puis la ramener a une seule variable, on a sin^2(x)+cos^2(x)=1 on a donc sin^2(x)=3cos^2(x) <==> 1-cos^2(x)=3cos^2(x) <==> 1=4cos^2(x) <==> 1/4=cos^2(x) 1/2=cos(x) ou -1/2=cos(x) or puisque sin(x)=sqrt(3) cos(x) alors ils sont du meme signe on a donc x=pi/6 ou x=7pi/6

**fagouna** · 26/07/2013, 22h35

deso c'est pi/3 et 4pi/4 *

**Samuel9-14** · 27/07/2013, 07h54

Salut, 4pi/4 = pi et n'est pas solution

Mais pi/3 oui, c'est bien ce qu'on avait trouvé

**Samuel9-14** · 27/07/2013, 11h50

Allez, on enchaine sur une nouvelle question ^^
Je ne comprends pas l'enchainement de ces deux lignes (vues dans un corrigé) :

sin 2 x - sin 4 x + sin 6 x
= -2 sin x cos 3x + sin 6x

Est-la formule : sin 2a = 2*sin(a)*cos(a) que l'on a utilisé ?
Parce que moi j'arriverais à quelque chose de bien trop compliqué...

**Seirios** · 27/07/2013, 12h02

Il s'agit de cette relation : http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit...es_en_produits.

**Samuel9-14** · 27/07/2013, 12h09

Merci pour le lien, ça va m'aider...
En fait on n'apprend rien au lycée sur la trigo...

**Seirios** · 27/07/2013, 12h30

Une petite sélection personnelle :

À connaître impérativement : les valeurs remarquables, les relations du cercle trigonométrique, $\text{[math]}$ et les relations $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Pratique à savoir (même si cela se déduit des deux relations précédentes), les formules de linéarisation : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

Et les relations dont il faut connaître l'existence (pour ma part, je ne m'en rappelle jamais) : $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

**Samuel9-14** · 27/07/2013, 12h56

Ps : heu... la relation utilisée est donc le noyau de Dirichlet ?
(J'ai encore rien essayé)

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