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Un peu de trigonométri(qu)e



  1. #1
    Samuel9-14

    Un peu de trigonométri(qu)e

    Bonjour à tous !
    Je prépare ma rentrée en prépa pour l'année prochaine avec quelques exos que l'on nous a conseillés de faire.
    Ceux-ci sont de fin terminale mais après un mois sans maths, on perd beaucoup Enfin j'espère que c'est ça, parce que dès le premier exo je rencontre quelques difficultés.

    Je dois résoudre :
    1) sin(x)=sqrt(3)*cos(x)

    Et la deuxième question est :
    2) Si x appartient à [2;2] vérifie sin x = 1/5, que vaut tan x ?

    Ce n'est pas précisé mais j'imagine que la calculatrice est interdite...

    Pour la 1), l'indiaction donnée est "se fait en une ligne"
    Pour la 2), aucune fonction transcendante ne doit intervenir...

    En fait je me rends surtout compte que je sais très peu de choses en trigonométrie.
    Il y a un cours dessus donné avec les exos, mais avant de m'y attaquer, je pense que c'est faisable sans...

    EDIt : pour la première je suis parti sur
    sin(x)/cos(x)=sqrt(3)
    tan(x)=sqrt(3)
    mais ça fait déjà plusieurs lignes et je vois pas comment continuer sans calculatrice ^^

    Je suis tenté de dire pi/3 quand même.
    Parce que (sqrt(3)/2)*2/1=sqrt(3), mais je l'ai dédui "inuitivement"...

    -----

    Dernière modification par Samuel9-14 ; 26/07/2013 à 08h32.

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  3. #2
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Bonjour,

    Pour la 1), je pense que tu peux écrire . Or est strictement croissante sur et -périodique, donc il suffit de trouver une (en fait, la) solution dans pour en déduire toute les autres.

    Pour la 2), à quel intervalle intervient ? ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    Dlzlogic

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Bonjour,
    tan(x)=racine(3) est une valeur caractéristique est exacte.

  5. #4
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Pour la 2), en supposant que la contrainte soit bien , tu peux déduire de la relation la valeur absolue de . Ensuite, pour montrer que est positif, tu peux remarquer que et donner un encadrement de sur .

    Au final, le résultat doit être .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #5
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Bonjour,
    tan(x)=racine(3) est une valeur caractéristique est exacte.
    Une solution fait effectivement partie des valeurs remarquables de , mais ce n'est pas la seule, et il faut bien trouver toutes les solutions.
    Dernière modification par Seirios ; 26/07/2013 à 09h23.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Désolé, l'intervalle était [-pi/2 : pi/2], j'ia raté le copié-collé ^^

    Donc pour la 1), c'est bien pi/3+2kpi du coup.

    Pour la 2), le raisonnement reste correct malgré l'intervalle j'imagine. Et j'ai bien compris le raisonnement ! J'avais pas pensé à utiliser cette relation...

    Merci à vous deux ! (Je reviendrais certainement assez vite de toutes façons ^^)

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  10. #7
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Citation Envoyé par Samuel9-14 Voir le message
    Désolé, l'intervalle était [-pi/2 : pi/2], j'ia raté le copié-collé ^^
    Du coup, il est bien plus facile de montrer que le cosinus est positif... Cela dit, remplacer l'intervalle par [-2,2] rend l'exercice plus intéressant.

    Donc pour la 1), c'est bien pi/3+2kpi du coup.
    Plutôt .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  11. #8
    albanxiii

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Bonjour,

    Pour la 1) on peut aussi multiplier les deux membres par 1/2 et remarquer une formule connue... mais peut-être pas encore en terminale cela dit... mais en une ligne, je trouve que c'est cette façon la bonne.
    Il faut connaître et (normalement, ça c'est OK).

    Si je ne me suis pas planté, je trouve que les solutions sont les , où .

    @+
    Not only is it not right, it's not even wrong!

  12. #9
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Oui c'est bien ce que je trouve !

    Seirios, pour montrer que le cosinus est positif, il y a quelque chose à démontrer ? Pour moi c'est trivial.

  13. #10
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Avec la contrainte , c'est effectivement évident ; avec , c'est plus intéressant.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #11
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Ok !

    Allez, dans la même lignée :
    3) Exprimer cos (a/2) en fonction de cos a, avec -pi<a<pi.

    J'imagine que c'est l'application d'une formule mais je ne vois pas du tout laquelle.

  15. #12
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    On a .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  17. #13
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Ha merci, je cherchais justement une formule du style cos(2a)=...

  18. #14
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Heu ouais en fait même avec ça je bloque...
    Avec un petit changement de variable j'arrive à cette égalité :

    cos(a)=2cos²(a/2)-1
    d'où :
    cos(a/2)=sqrt((cos(a)+1)/2)

    Mais ça me parait bizarre...

  19. #15
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Tu as oublié une valeur absolue ; il faut donc ajouter un signe devant la racine dépendant de . Cela dit l'expression n'est pas particulièrement élégante...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  20. #16
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    C'est pour ça qu'il y avait une indication "attention au signe" ^^
    Mais je vois pas trop, mettre une valeur absolue ok, mais un cosinus est toujours compris entre 0 et 1, non ? Du coup si on y ajoute un, il est forcément positif, du coup je ne vois pas où est le problème.

  21. #17
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Un cosinus est plutôt compris entre -1 et 1
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  22. #18
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Heu oui bien sûr, mais ça ne change pas ce que je voulais dire.

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  24. #19
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Tu as trouvé ; en passant à la racine carrée, on obtient . Il faut donc bien faire attention au signe de .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  25. #20
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Wow, je suis un peu perdu là je crois ^^
    Il doit être positif, non ?

  26. #21
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Oui, bien sûr, donc : forcément est positif... J'ai été un peu long à remarquer ce détail
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  27. #22
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Ha ok ^^
    En fait s'ils n'avaient pas donné dans l'énoncé un encadrement de a, il aurait fallu le donner.

    Merci beaucoup !

  28. #23
    fagouna

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Pour la premiere question, c'est simple il faut trouver un lien entre cos(x) et sin(x) puis la ramener a une seule variable, on a sin^2(x)+cos^2(x)=1 on a donc sin^2(x)=3cos^2(x) <==> 1-cos^2(x)=3cos^2(x) <==> 1=4cos^2(x) <==> 1/4=cos^2(x) 1/2=cos(x) ou -1/2=cos(x) or puisque sin(x)=sqrt(3) cos(x) alors ils sont du meme signe on a donc x=pi/6 ou x=7pi/6

  29. #24
    fagouna

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    deso c'est pi/3 et 4pi/4 *

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  31. #25
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Salut, 4pi/4 = pi et n'est pas solution
    Mais pi/3 oui, c'est bien ce qu'on avait trouvé

  32. #26
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Allez, on enchaine sur une nouvelle question ^^
    Je ne comprends pas l'enchainement de ces deux lignes (vues dans un corrigé) :

    sin 2 x - sin 4 x + sin 6 x
    = -2 sin x cos 3x + sin 6x

    Est-la formule : sin 2a = 2*sin(a)*cos(a) que l'on a utilisé ?
    Parce que moi j'arriverais à quelque chose de bien trop compliqué...

  33. #27
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    If your method does not solve the problem, change the problem.

  34. #28
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Merci pour le lien, ça va m'aider...
    En fait on n'apprend rien au lycée sur la trigo...

  35. #29
    Seirios

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Une petite sélection personnelle :

    À connaître impérativement : les valeurs remarquables, les relations du cercle trigonométrique, et les relations , .

    Pratique à savoir (même si cela se déduit des deux relations précédentes), les formules de linéarisation : , .

    Et les relations dont il faut connaître l'existence (pour ma part, je ne m'en rappelle jamais) : , , , .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  36. #30
    Samuel9-14

    Re : Un peu de trigonométri(qu)e

    Ps : heu... la relation utilisée est donc le noyau de Dirichlet ?
    (J'ai encore rien essayé)

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