Question concernant la décomposition de fonction rationnelle.

[Lucien-O.]

Bonjour,

j'ai appris, à propos de leur intégration, à décomposer les fonctions rationnelles en éléments simples et je me demande pourquoi, dans un élément simple, la présence au dénominateur d'une expression du second degré génère dans le numérateur une expression du premier degré et non plus un unique coefficient réel?
J'ai bien tenté quelques recherches sur le net mais je n'en trouve pas à priori la raison,...Je me l'explique très sommairement en me disant qu'une fonction rationnelle n'est plus simplifiable dés lors que le degré du numérateur est plus petit que le degré du dénominateur.
Mais l'explication est vaseuse puisque cela devrait donc être valable de continuer à poser des réels uniques qui sont des termes de degré zéro,...

Bref, ça me semble flou,...Quelqu'un pourrait-il m'aiguiller sur une recherche ou m'expliquer le pourquoi de cette méthode?

Merci d'avance!
-----

[invite7c2548ec]

Bonsoir à mon avis , donnez nous un exemple et essayant d' abordez la question pour une bonne assimilation de celle ci ;

Cordialement ;

[gg0]

Bonsoir

"...une expression du premier degré et non plus un unique coefficient réel? "
Et comment fais-tu pour 2x/(x²+x+1) ?

Il y a des x simplement parce qu'on ne peut pas les éliminer (dans ). (*)

Si on réfléchit bien en termes de calculs (pas en désir que ce soit simple), on comprend vite ce qui se passe.

Attention aux raccourcis : "une fonction rationnelle n'est plus simplifiable dès lors que le degré du numérateur est plus petit que le degré du dénominateur. " est faux. Pense à (x+1)/(x²+2x+1). Ou à (x²+x-2)/(x³+2x²+3x+4) qui se décompose (en théorie au moins) en éléments simples.

Cordialement.

(*) La bonne question est pourquoi les autres monômes de degré 2,3, ... n'apparaissent pas.

[Lucien-O.]

"Bonsoir" aurait effectivement été plus approprié!

Bonsoir donc!

Merci gg0 votre exemple illustre bien l'obligation de conserver des monômes de degré un, quant aux monômes de degrés supérieurs, ils n'apparaissent pas car il est nécessaire (mais pas suffisant : je prends note de la remarque concernant les "raccourcis",...me suis senti un peu benêt là ) d'avoir degré degré pour affirmer que l'expression est indécomposable.

Je vais illustrer ma question par un exemple:



Avec

Et l'on voit que ce n'est pas degré qui génère la forme du numérateur mais le type de racine de ,...Pour des racines réelles multiples ou non , on pose des coefficients réels uniques; si les racines ne sont pas réelles on pose une expression du premier degré,...

Pourtant, pourrait très bien valoir zéro,...Avec votre exemple, je me dis que ce que je cherche à comprendre, c'est que l'expression est déjà déterminée avant que nous la calculions. Qu'il s'agit d'une écriture unique de que nos calculs ne font que révéler. Par conséquent, on ne peut ni affirmer, ni choisir, que (j'ai fait exprès de poser une seule lettre) soit de degré zéro puisqu'un élément simple dont le dénominateur n'admet que des racines complexes peut très bien avoir un numérateur de degré un!

Dans ce cas, je ne comprenais pas la méthode uniquement parce que j'imaginais pouvoir "choisir" les valeurs des numérateurs,...

Merci à vous!

Ps:

Si on réfléchit bien en termes de calculs (pas en désir que ce soit simple)

J'espère être plus motivé par la clarté que par la facilité mais l'envie que ce soit simple domine sans doute quelquefois,...je suis aussi paresseux!

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Message à effacer.

merci.

[gg0]

Bonsoir.

Attention, ceci est une succession de graves erreurs :

Tout d'abord, la décomposition concerne la fraction rationnelle. Qu'on veuille l'intégrer ou pas ! Donc les intégrales sont hors sujet.
Ensuite le symbole n'est pas de mise ici, puisqu'il n'y a pas de propriété avant (il y a une fonction, mais une fonction n'est pas une phrase, ne dit rien).
Troisièmement, la décomposition est incomplète (il manque une fraction, de dénominateur x)

La décomposition en éléments simples redonne le même nombre (la même fonction de la variable x) :

Et c'est bien parce qu'il y a égalité que les fractions doivent être toutes là, que les coefficients ne sont pas quelconques, ni les numérateurs des fractions de dénominateur un polynôme du second degré à une certaine puissance. On n'a pas le choix, si on ne met pas la bonne forme, il n'y aura plus égalité.

Cordialement.

[Lucien-O.]

Merci!
Du coup, j'ai pigé le truc.

Je me suis rendu compte qu'il manquait un terme à ma décomposition durant la soirée (je n'avais plus accès au pc); en revanche, pour les intégrales, je n'avais pas du tout pensé au hors sujet (manifeste pourtant,...).
Concernant le , l'utilisation du symbole aurait-elle été correcte si j'avais posé : =(...) =(...)? Étant donné que les égalités "disent" alors quelque chose.

Bonne soirée!

[gg0]

Effectivement.

mais on n'emploiera le symbole d'équivalence, dans un texte mathématique que si on a besoin d'exprimer une équivalence. Pas pour marquer une liaison incomprise.
D'ailleurs, une liaison incomprise est à éclaircir.

Cordialement.