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DM Math suites



  1. #1
    Krati

    DM Math suites


    ------

    Bonjour, j'ai un DM a rendre pour mardi 17/09 et il y a certains points auxquels je n'ai pas sus répondre, bien qu'ayant essayé :

    Exercice 1 :

    Soit la suite U(n) définie par U(0) = 3 et U(n+1) = 1/2 * (U(n) + 4/U(n))

    Soit la fonction f(x) = 1/2 * (x + 4/x)
    Etudier les variations de f(x) sur [2;4] : FAIT (avec la dérivée, ect...) on obtient, pour x appartenant a [2;4], 2≤f(x)≤2.5 et f(x) croissante sur [2;4].

    Ensuite, on nous demande de demontrer par récurrence que, pour tout n, 2≤U(n)≤4
    Et la, c'est le drame !!

    J'ai commencé comme ça :

    Soit la propriété P(n) : "2≤U(n)≤4".
    Démontrons par récurrence que P(n) est vraie pur tout n appartenant a N

    Initialisation :

    Comme U(0) = 3, P(0) est vraie.

    Heredité :

    Supposons que la propriété P(p) : "2≤P(p)≤4" soit vraie.
    Par hypothèses, P(p+1) = 1/2 * (P(p) + 4/P(p)).
    Montrons que 2≤P(p+1)≤4

    Donc 2≤P(p)≤4, soit 2/2 + 2/P(p) ≤ P(p)/2 + 2/P(p) ≤ 4/2 + 2/P(p)

    Soit 1 + 2/P(p) ≤ P(p+1) ≤ 2 + 2/P(p)

    Et la, je bloque, je n'arrive pas a montrer que 2≤P(p+1)≤4!



    Toute aide est la bienvenue, merci!

    -----

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  3. #2
    PlaneteF

    Re : DM Math suites

    Bonjour,

    Il n'y a pas le moindre calcul à effectuer !

    Utilise tout simplement le fait que f est croissante sur l'intervalle considéré, et tu démontres Pp+1 en 5 secondes chrono.

    Cordialement


    N.B. : Tu dois bien te douter que si l'énoncé te fait étudier les variations de la fonction f, c'est probablement pour utiliser le résultat par la suite !
    Dernière modification par PlaneteF ; 15/09/2013 à 14h04.

  4. #3
    Krati

    Re : DM Math suites

    Oui, je me doute bien que l'on doit reutiliser les reponses precedentes, ect..

    Mais ce qui me gène c'est que l'on a U(n+1) qui s'exprime en fonction de U(n) et que f(x) s'exprime en fonction de x (et non pas de x-1).

    Quand bien même, je n'arrive pas a utiliser le fait que f est croissante sur [2;4] pour montrer que 2≤U(n)≤4 pour tout n de N...

  5. #4
    jamo

    Re : DM Math suites

    Bonjour
    tu écris comment Un+1 en fonction de Un ?

  6. #5
    PlaneteF

    Re : DM Math suites

    Citation Envoyé par Krati Voir le message
    Quand bien même, je n'arrive pas a utiliser le fait que f est croissante sur [2;4] pour montrer que 2≤U(n)≤4 pour tout n de N...
    Rappel : Si et est croissante sur , alors

    Avec çà + la remarque de jamo*, tu devrais maintenant y arriver.


    (*) Hi there! Cà fait un bail !
    Dernière modification par PlaneteF ; 15/09/2013 à 15h06.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    jamo

    Re : DM Math suites

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message

    (*) Hi there! Cà fait un bail !
    Salut toi
    il a eu son Bac le Premier , du coup c'est le deuxième maintenant qui est en première S donc il faut que je m'y remette

  9. Publicité
  10. #7
    Krati

    Re : DM Math suites

    U(n+1) = 1/2 * (U(n) + 4/U(n))

    Soit U(n+1) = U(n)/2 + 2/U(n).

    La méthode que vous m'indiquez suffirait a montrer que 2≤P(n+1)≤4 ?
    Donc a le monter par récurrence ?

  11. #8
    PlaneteF

    Re : DM Math suites

    Par hypothèse de récurrence on a :



    Maintenant sur cette double inégalité, applique le fait que est croissante (en justifiant bien que les éléments de ces 2 inégalités sont bien dans le domaine de définition de ), ... et c'est terminé !!
    Dernière modification par PlaneteF ; 15/09/2013 à 16h11.

  12. #9
    Krati

    Re : DM Math suites

    Soit f(2)≤f(U(p))≤f(4)

    Donc 2≤U(p+1)≤2,5

    Or, 2,5 ≤ 4, donc c'est bon.

    (Je n'avais pas du tout penser a cela, et maintenant ce me parait évident).

    Ai-je bon?

  13. #10
    PlaneteF

    Re : DM Math suites

    Citation Envoyé par Krati Voir le message
    Soit f(2)≤f(U(p))≤f(4)
    Je vais être un tantinet pointilleux ici.

    Quand on part de :

    Il faut préciser que du coup et donc est bien défini.


    Citation Envoyé par Krati Voir le message
    Ai-je bon?
    Oui.
    Dernière modification par PlaneteF ; 15/09/2013 à 16h28.

  14. #11
    Krati

    Re : DM Math suites

    Très bien, merci de votre aide précieuse.

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