DM Math suites

[invitef051709a]

Bonjour, j'ai un DM a rendre pour mardi 17/09 et il y a certains points auxquels je n'ai pas sus répondre, bien qu'ayant essayé :

Exercice 1 :

Soit la suite U(n) définie par U(0) = 3 et U(n+1) = 1/2 * (U(n) + 4/U(n))

Soit la fonction f(x) = 1/2 * (x + 4/x)
Etudier les variations de f(x) sur [2;4] : FAIT (avec la dérivée, ect...) on obtient, pour x appartenant a [2;4], 2≤f(x)≤2.5 et f(x) croissante sur [2;4].

Ensuite, on nous demande de demontrer par récurrence que, pour tout n, 2≤U(n)≤4
Et la, c'est le drame !!

J'ai commencé comme ça :

Soit la propriété P(n) : "2≤U(n)≤4".
Démontrons par récurrence que P(n) est vraie pur tout n appartenant a N

Initialisation :

Comme U(0) = 3, P(0) est vraie.

Heredité :

Supposons que la propriété P(p) : "2≤P(p)≤4" soit vraie.
Par hypothèses, P(p+1) = 1/2 * (P(p) + 4/P(p)).
Montrons que 2≤P(p+1)≤4

Donc 2≤P(p)≤4, soit 2/2 + 2/P(p) ≤ P(p)/2 + 2/P(p) ≤ 4/2 + 2/P(p)

Soit 1 + 2/P(p) ≤ P(p+1) ≤ 2 + 2/P(p)

Et la, je bloque, je n'arrive pas a montrer que 2≤P(p+1)≤4!



Toute aide est la bienvenue, merci!
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[PlaneteF]

Bonjour,

Il n'y a pas le moindre calcul à effectuer !

Utilise tout simplement le fait que f est croissante sur l'intervalle considéré, et tu démontres P_p+1 en 5 secondes chrono.

Cordialement


N.B. : Tu dois bien te douter que si l'énoncé te fait étudier les variations de la fonction f, c'est probablement pour utiliser le résultat par la suite !

[invitef051709a]

Oui, je me doute bien que l'on doit reutiliser les reponses precedentes, ect..

Mais ce qui me gène c'est que l'on a U(n+1) qui s'exprime en fonction de U(n) et que f(x) s'exprime en fonction de x (et non pas de x-1).

Quand bien même, je n'arrive pas a utiliser le fait que f est croissante sur [2;4] pour montrer que 2≤U(n)≤4 pour tout n de N...

[invite8d4af10e]

Bonjour
tu écris comment Un+1 en fonction de Un ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

Quand bien même, je n'arrive pas a utiliser le fait que f est croissante sur [2;4] pour montrer que 2≤U(n)≤4 pour tout n de N...

Rappel : Si et est croissante sur , alors

Avec çà + la remarque de jamo*, tu devrais maintenant y arriver.


^(*) Hi there! Cà fait un bail !

[invite8d4af10e]

^(*) Hi there! Cà fait un bail !

Salut toi
il a eu son Bac le Premier , du coup c'est le deuxième maintenant qui est en première S donc il faut que je m'y remette

[invitef051709a]

U(n+1) = 1/2 * (U(n) + 4/U(n))

Soit U(n+1) = U(n)/2 + 2/U(n).

La méthode que vous m'indiquez suffirait a montrer que 2≤P(n+1)≤4 ?
Donc a le monter par récurrence ?

[PlaneteF]

Par hypothèse de récurrence on a :



Maintenant sur cette double inégalité, applique le fait que est croissante (en justifiant bien que les éléments de ces 2 inégalités sont bien dans le domaine de définition de ), ... et c'est terminé !!

[invitef051709a]

Soit f(2)≤f(U(p))≤f(4)

Donc 2≤U(p+1)≤2,5

Or, 2,5 ≤ 4, donc c'est bon.

(Je n'avais pas du tout penser a cela, et maintenant ce me parait évident).

Ai-je bon?

[PlaneteF]

Soit f(2)≤f(U(p))≤f(4)

Je vais être un tantinet pointilleux ici.

Quand on part de :

Il faut préciser que du coup et donc est bien défini.

Ai-je bon?

Oui.

[invitef051709a]

Très bien, merci de votre aide précieuse.