Suite

[inviteaf30f084]

Bonsoir,
Il y a un petit exercice qui me pose problème
Énoncé: (Un) une suite définie sur N par u0=1 et pour tout n, Un+1 = Un/(1+Un)
Exprimer Un en fonction de n.
Pouvez vous me donner la démarche à suivre svp ?
Merci
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu peux calculer les 1ers termes de la suite et tu vas voir que tu pourra conjecturer facilement l'expression de en fonction .

Ensuite une simple récurrence fera l'affaire.


Cordialement

[Seirios]

Bonsoir,

En calculant les premiers termes de la suite, tu devrais pouvoir deviner l'expression en question. Ensuite, tu n'auras qu'à la montrer par récurrence.

Edit : Grillé...

[inviteaf30f084]

J'ai déjà calculé les premiers termes et il semble que l'expression de Un soit Un= 1/(n+1) . C'est à partir de la que je bloque vraiment :/

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

J'ai déjà calculé les premiers termes et il semble que l'expression de Un soit Un= 1/(n+1) . C'est à partir de la que je bloque vraiment :/

Sais-tu faire un raisonnement par récurrence ?

[inviteaf30f084]

On en a déjà fait mais je ne maîtrise pas encore la technique .

[inviteaf30f084]

Je sais que pour l'initialisation: u0=1 et u0=1/(0+1) =1 donc P(n) est vrai au rang 0. C'est plus pour l'hérédité ou j'ai du mal..

[PlaneteF]

On en a déjà fait mais je ne maîtrise pas encore la technique .

1) Tu vérifies la proprieté pour ;

2) Tu supposes la propriété vraie au rang , à savoir , et tu montres la propriété au rang à savoir

[inviteaf30f084]

pourrais tu me dire ou est mon erreur , je ne vois pas pourquoi je ne tombe pas sur U_n+1= 1/(n+2)
U_n+1 = U_n / 1+ U_n
= (1/(n+1)) / (1+(1/n+1))
= (1/(n+1)) / ((n+2)/(n+1))
= 1/(n+1) * ((n+1)/(n+2))
= (n+1) / n²+3n+2

[inviteaf30f084]

(n+1) / (n+1)(n+2) : on simplifie les n+1 il reste 1/(n+2)
c'est bon en faite, je me suis compliquer la vie pour rien, merci pour ton aide

[invite8cfda9ff]

Quand tu auras fini avec ça, il sera intéressant de considérer une autre approche de l'exercice :
1) Justifier que pour tout n (par récurrence).
2) Montrer que la suite est arithmétique en précisant sa raison et son premier terme.
3) Conclure.

Bises.

[PlaneteF]

= 1/(n+1) * ((n+1)/(n+2))

Tu as au numérateur et au dénominateur, et donc en simplifiant tu tombes bien sur


Edit : Croisement de messages