Suites, fonction associée Term S

[invitefbb48eb5]

Bonsoir,

j'ai un exercice à faire mais je suis bloquée dans plusieurs questions et j'aimerai comprendre.
Voici l'exercice :

(Un) suite numérique définie sur N
U0 = 1/8
Un+1 = Un(2-Un)


1/ Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x(2-x)
a/ Dresser le tableau de variations de la fonction f sur R.

f(x) = x(2-x)= -x^2 + 2x
La fonction est donc croissante puis décroissante et a pour sommet (1;1)

b/ Justifier que pour tout x appartenant à ]0;1[, f(x) appartient à ]0;1[
Je bloque, en calculant le discriminant et x1, x2 je trouve un intervalle de ]0;2[

2/
a/ Calculer U1 et U2

U1 = 15/64
U2 = 1695/4096

b/ Montrer par récurrence que, pour tout entier n : 0 < Un < 1
Je bloque à l'étape d'hérédité toujours à cause de cet intervalle avec le 1.
On sait que :
0 < Un < 1
1 < Un+1 < 2 Ce 2 ne convient pas mais je vois pas comment faire.

c/ Montrer que la suite est croissante
J'ai choisi de faire par récurrence, je vais directement à l'étape 2 :
Un < Un+1
Un+1 < Un+1(2 - Un+1)
Un+1 < Un+2

3/ On considère la suite Vn = 1-Un définie sur N
a/ Exprimer, pour tout entier n, Vn+1 en fonction de Vn

J'ai calculé V1 et V2,
V1 = 1 - U1
V1 = 1 - 15/64
V1 49/64

V2 = 1201/2048

Après je ne trouve pas

b/ En déduire, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier n : Vn = (7/8)^2^n

c/ En déduire, pour tout entier n une expression de Un en fonction de n.


Je bloque pour les étapes 1-b ; 2-b ; 2-c et tout le grand 3.



Merci de me donner quelques pistes
-----

[invite7c2548ec]

Bonsoir

Bonsoir,

f(x) = x(2-x)= -x^2 + 2x
La fonction est donc croissante puis décroissante et a pour sommet (1;1)

b/ Justifier que pour tout x appartenant à ]0;1[, f(x) appartient à ]0;1[
Je bloque, en calculant le discriminant et x1, x2 je trouve un intervalle de ]0;2[

Pour répondre à cette question pour quoi ce bloquer alors que vous avez déjà le x₁=0 et vue que x₂=2 n’appartiens pas à ]0,1[ on le rejette et en garde uniquement x₁=0 même s'il n 'appartient pas aux même intervalle . encore Max(f)=1 pour x_Max=1.

[invitebbd6c0f9]

Je confirme le 1/ a/, le 1/ b/, je ne suis pas sûr de te conseiller de la bonne façon.


Le 2/ a/, je te fais confiance, le 2/ b/, c'est pas parce que tu regardes que tu dois aussi faire +1 des deux côtés de ton inéquation (on a , y compris (n+1)).
Tu dois donc démontrer que . En utilisant l'égalité de ta suite ( ), tu devrais y arriver.

Le 2/ c/, je ne comprends pas trop ce que tu fais.... Pourquoi "passer tout de suite à l'étape 2"? Que cela veut-il dire? Ton raisonnement n'a pour moi pas de sens.
Tu dois simplement montrer que en utilisant à nouveau et aussi la partie 2/ b/.
(Comme début, tu peux commencer par (en sachant que ).

Pour la 3/ a/, tu utilises l'égalité sur pour obtenir , tu développes en utilisant l'égalité , tu arrives à une jolie identité et tu repasses sous une forme qui contient seulement du .

Pour le 3/ b/, tu fais comme pour tout raisonnement par récurrence :
Hypothèse comme dans l'énoncé, initialisation pour n=0 (ici tu auras à montrer que ), puis la récurrence où tu commences de , tu utilises le 3/ a/ pour développer, puis tu pourras utiliser ton hypothèse pour et tu arriveras bien à , et tu finis par ta conclusion où tu pourras affirmer que P(n) est bien vraie.

Pour la 3/ c/, simplement, tu appliqueras les deux égalités et le résultat démontré en 3/ b/ ( ) pour arriver à un résultat que tu pourras simplifier.

Et voilà, bon travail!

Cordialement

(I hope this will help!)

[invitefbb48eb5]

Merci Topmaths ! La réponse parait évidente maintenant que je pense à x max = 1.

The_Anonymous, merci beaucoup pour ta réponse tout d'abord.

2-b : J'ai compris que je devais démontrer par récurrence que 0 < Un+1 < 1 et donc que 0 < Un < 1 pour tout n.
Je bloque pour commencer à l'étape de l'hérédité.
0 < Un < 1
...
Mais tu n'utilises pas une inégalité toi

2-c : Ce que je voulais dire c'est que j'écris uniquement l'étape de l'hérédité (étape 2) pour un gain de temps. Je me suis mal exprimée.
J'avais commencé comme toi mais je ne comprends pas que Un(2-Un) > Un équivaut à Un + Un > (Un + Un)²

3-a : Pas du tout compris, désolée !

3-b : j'ai compris.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebbd6c0f9]

2-b :

Oui, mais tu n'as pas compris ce que je voulais dire :

Tu veux montrer que pour montrer l'hérédité.

Et tu sais que .
Alors tu remplaces dans la première double inégalité (tu obtiens ), et tu utilises le fait que pour raisonner : soit 0<x<1, là tu as et étrangement tu retrouves quelque chose que tu as vu en 1/ b/ qui ressemble... (Le lien entre fonction et suite). Je n'en dirais pas plus, j'espère que tu auras compris cette fois.

2-c :

Je suis allé un peu vite et j'ai vite simplifié :

. Utilise le fait que .

3-a :

C'est pas compliqué, voyons!

Si , alors .

Ensuite, tu sais que donc tu remplaces, et tu simplifies par la suite...

Dis-moi là où tu bloques, parce que si tu ne vois pas du tout, tu n'auras pas pu faire le 3-b ni le 3-c.

Cordialement

[PlaneteF]

Bonsoir,

2-b :

Oui, mais tu n'as pas compris ce que je voulais dire :

Tu veux montrer que pour montrer l'hérédité.

Et tu sais que .
Alors tu remplaces dans la première double inégalité (tu obtiens ), et tu utilises le fait que pour raisonner : soit 0<x<1, là tu as et étrangement tu retrouves quelque chose que tu as vu en 1/ b/ qui ressemble... (Le lien entre fonction et suite). Je n'en dirais pas plus, j'espère que tu auras compris cette fois.

2-c :

Je suis allé un peu vite et j'ai vite simplifié :

. Utilise le fait que .

Ouh là, là, mais c'est infiniment plus simple que cela , il ne faut pas procéder comme cela :

Pour le 1)b), 2)b) et 2c) il n'y a pas le moindre calcul à effectuer, la justification de ces 3 questions se fait en 1 ligne et 5 secondes en utilisant le fait que la fonction f est strictement croissante sur ]0;1[


Cordialement

[invitebbd6c0f9]

Sûrement x) et désolé de t'avoir fait raisonné pour rien alors...

J'ai peut-être proposé une façon "lentement mais sûrement" ^^

À toi toute la simplicité et la rapidité que te propose PlaneteF

Cordialement

[PlaneteF]

Sûrement x) et désolé de t'avoir fait raisonné pour rien alors...

J'ai peut-être proposé une façon "lentement mais sûrement" ^^

Je ne pense pas que tes explications étaient vaines, en tout état de cause il n'y avait pas ce sens là dans mon message, car je pense qu'il est toujours "formateur" de voir toutes les différentes méthodes pour arriver à un résultat ; et je suis persuadé que Nana410 a apprécié ton dévouement

Maintenant ce qu'il faut savoir ici, c'est que lorsqu'une suite est définie à l'aide d'une fonction de la façon : U_n+1 = f(u_n), les propriétés principales de la suite découlent directement de l'étude de la fonction. D'ailleurs les énoncés, systématiquement (du moins au lycée), commencent d'entrée de jeu par demander le tableau de variation de la fonction, comme ici en 1ère question.


Cordialement

[PlaneteF]

@Nana410

Donc pour récapituler, pour les questions 1-b, 2-b et 2-c

Tu sais d'après la question 1-a que la fonction f est strictement croissante sur ]0;1[

Or pour rappel : Si a<b<c et f strictement croissante sur ]a;c[ alors on a : f(a)<f(b)<f(c)

Tu appliques cette propriété pour ces 3 questions et à chaque fois la réponse est immédiate et sans calcul.


Cordialement

N.B. : Cette technique est un "grand classique" à avoir dans son bagage.

[invitefbb48eb5]

Je vous remercie tous et toutes !
Une grande aide de tous.

2/b : je devais répondre uniquement par récurrence selon la consigne.

Je bloque plus qu'à la question 3/b. Je pense avoir réussi et compris les questions précédentes.

Pn : Vn = 7/8^2n ?

Pour n=0 :
V0 = 7/8^2^0

Nous ne connaissons pas V0 ?!

[PlaneteF]

2/b : je devais répondre uniquement par récurrence selon la consigne.

Mais pour le 2-b (ainsi que le 2-c) je te parlais bien de le faire par récurrence et pas autrement, ... une récurrence qui se fait sans aucun calcul !


Cdt

[invitefbb48eb5]

PlaneteF

Je pense que je dois avoir à mauvais sens du mot calcul, d'après moi dans l'étape 2 de l’hérédité, les étapes que je dois effectuer sont des calculs. Mais je me trompe sûrement.

[gg0]

L'hérédité est une preuve. Si on peut la faire sans calcul, il n'y a pas de calcul !!! Revois ce qu'est la preuve par récurrence.

Cordialement.

[PlaneteF]

PlaneteF

Je pense que je dois avoir à mauvais sens du mot calcul, d'après moi dans l'étape 2 de l’hérédité, les étapes que je dois effectuer sont des calculs. Mais je me trompe sûrement.

Oui effectivement tu te trompes

Le raisonnement par récurrence que je t'ai indiqué (et c'est aussi le raisonnement qui est attendu par l'énoncé et le correcteur) fait intervenir :

* f(0) => Pas de calcul, le résultat est connu dans la question 1-a ;

* f(1) => Pas de calcul, le résultat est lui aussi connu dans la question 1-a ;

* f(U_n) => Pas de calcul, car donné par l'énoncé.


C'est bon, tu es convaincu ?!! ... Mais le mieux, fais-le par toi-même c'est 5 secondes, pas plus !!


Cdt

[invitefbb48eb5]

Oui oui !
J'ai tout fais et rédigé.

Je vous remercie pour tout !



Bye.

[invitebbd6c0f9]

Je bloque plus qu'à la question 3/b. Je pense avoir réussi et compris les questions précédentes.

Pn : Vn = 7/8^2n ?

Pour n=0 :
V0 = 7/8^2^0

Nous ne connaissons pas V0 ?!

Bonsouère,

Comme il semblerait que personne ne t'ait répondu, je dirais que vu que , alors et donc oui on peut calculer

Cordialement