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Probabilité - Récurrence



  1. #1
    The_Anonymous

    Question Probabilité - Récurrence

    Bonjour à tous

    Bonne journée !

    J'ai 2 problèmes que je n'arrive pas à résoudre, les voici tout de suite

    Problème 1 :

    On a comme index un tableau représentant la répartition de la population suisse (ou française si vous voulez ) entre les différents groupes sanguins. Voilà une reproduction du tableau (je fais de mon mieux ^^) :

    __________|__O __|__A __|__B __|__AB__|
    Pourcentage|_41%_|_47%_|_8%__| _4% __|

    - On prend 20 personnes au hasard de nationalité suisse (ou française x) ), et on calcule la probabilité qu'exactement 7 d'entre elles sont du groupe A.

    Je sais que chaque personne a 47% d'être du groupe A, mais pour 20 personnes, on peut évidemment pas juste faire , donc je ne sais pas trop d'où partir (en plus, comme c'est un exercice pris dans le chapitre Probas et Stats tout entier, je ne sais pas trop entre combinaisons ou espérance...). Rien que de calculer le nombre total de possibilités me fait peur : si c'était un cas d'équiprobabilité, ce serait facile, mais là, je bloque vraiment...

    - Parmis ces 20 personnes, quelle est la probabilité qu'on ait 5 personnes de chaque groupe?

    Pareillement à la première question, je n'ai aucune idée de où commencer...

    - On prend cette fois 100 personnes dont la répartition correspond aussi à celle du tableau, et on nous demande une approximation de la probabilité qu'il y ait entre 38 et 50 personnes (38 et 50 compris) du groupe A.

    Toujours le même principe (m'fin je pense), si vous arrivez à m'aider afin que je puisse trouver le premier, je devrais pouvoir faire ces deux questions suivantes, mais pour l'instant je sais pas trop entre calculer les possibilités voulues pondérées avec les pourcentages divisées par le nombre de possibilités totales ou bien un raisonnement qui amène directement à une solution sans passer par ce chemin.



    Problème 2 :

    Montrer par récurrence que (je l'ai déjà démontré par un raisonnement de comptage).

    L'initialisation, pas de soucis, par contre, , j'ai plus de peine... :

    Je commence par et j'essaie d'arriver à :

    .

    Le truc, c'est que j'ai tout fait pour arriver à , pour pouvoir ensuite utiliser la récurrence et arriver à un résultat, mais là, ma somme est multiplié avec une fraction donc je ne peux pas simplifier... Alors y a-t-il une autre simplification à faire pour y arriver? Ou faut-il utiliser une sous-récurrence? (J'ai essayé mais alors on n'utilise pas la récurrence et je ne vois pas trop...). Ou faut-il commencer par ? (J'ai aussi essayé mais j'aboutis également à un résultat que je ne peux pas simplifier).


    Voilà mes deux (gros) problèmes, merci de votre aide!

    Et j'avais une dernière petite question ^^

    Connaissez-vous un moyen simple (pas avec des dérivées etc..) de montrer que
    ?
    Parce que j'ai trouvé cette formule (série de fonction exponentielle), mais je n'ai vu aucune démonstration...

    Merci énormément d'avance pour toutes vos réponses!

    Cordialement

    -----


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  3. #2
    Jukse

    Re : Probabilité - Récurrence

    Problème 1 : il faut que tu fasses le point avec ton cours sur la loi binomiale.
    Problème 2 : il y a une formule généralement attribuée à Pascal . Elle est à connaître absolument. La démontrer de plusieurs façons différentes est très instructif.

    Question sur l'exponentielle : tu peux considérer que cette formule est la définition de l'exponentielle, surtout si tu ne veux pas entendre parler de dérivées.

    Tschüß !

  4. #3
    joel_5632

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    - On prend 20 personnes au hasard de nationalité suisse (ou française x) ), et on calcule la probabilité qu'exactement 7 d'entre elles sont du groupe A.
    La loi binomiale a été inventée pour répondre exactement à cette question

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    - Parmis ces 20 personnes, quelle est la probabilité qu'on ait 5 personnes de chaque groupe?
    en terme de probabilité c'est:
    P = (5"0" et 5"A" et 5"B" et 5"AB") =
    P(5"0") * P(5"A" et 5"B" et 5"AB" / 5"0") =
    P(5"0") * P(5"A"/5"O") * P(5"B" et 5"AB" / 5"0" /5"A") =
    etc

    et pour calculer chacune des probabilités dans ce produit, on utilise une loi binomiale


    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    - On prend cette fois 100 personnes dont la répartition correspond aussi à celle du tableau, et on nous demande une approximation de la probabilité qu'il y ait entre 38 et 50 personnes (38 et 50 compris) du groupe A.
    ben je calculerais la proba qu'il y en ait 38, puis 39 puis ... 50 puis j'additionnerais
    à moins qu'il y ait une formule connue qui donne P(X>n) pour la loi binomiale

    vérifier ce que je dis car je peux me tromper

  5. #4
    joel_5632

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Montrer par récurrence que (je l'ai déjà démontré par un raisonnement de comptage).
    en utilisant la technique de jukse dans un autre fil (le fil sur les statistiques), on distingue l'un des éléments après constitution des parties puis avant la constitution



    ensuite si on connait le nombre de parties d'un ensemble de n-1 éléments, c'est plié

  6. #5
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Un grand merci à vous deux! Autant l'un que l'autre, vos réponses sont très intéressantes et m'ont beaucoup aidé!
    Alors voilà mes réponses, après bien du temps de réflexion ^^ :

    Problème 1 :

    I. La chance de succès est 47/100, donc celle de failure est 53/100, le nombre de répétition de l'expérience est 20 (20 personnes), on calcule P{X=7}, et donc je me lance dans pour être exact
    J'espère que c'est juste, je n'avais jamais utilisé la loi binomiale pour un exemple concret à part pour des dés ou les paramètres étaient déjà donnés.

    II. Avec la formule de multiplication dans le chapitre des probas conditionnelles, j'ai, pour X = " 5 personnes sont O ", Y = " 5 personnes sont A ", Z = " 5 personnes sont B ", et W = " 5 personnes sont AB ", que .

    Ensuite, on a donc la proba que 5 personnes exactement soient du groupe O, soit en faisant comme dans I.,

    Après sachant que 5 sont du groupe O, la proba que 5 personnes soient soient du groupe A parmis 15 personnes :

    Proba de 5 personnes du groupe B parmis 10 personnes :

    Et finalement 5 personnes AB parmis 5 personnes :
    .

    Et donc je multiplie le tout (et pas des moindre) :

    .

    J'attends que vous m'indiquiez l'erreur parce que là, si c'est vraiment ça...

    III. Je vais directement faire :
    .

    Voilà, je vous laisse confirmer s'il vous plaît, ou alors m'indiquer mes erreurs.

    Problème 2 :

    @Jukse : Très intéressant! Je connaissais cette égalité, mais je l'ai mise dans tous les sens, et je n'arrive toujours pas à mes fins... J'utilise donc :

    ...

    Du coup, j'ai réussi à utiliser ma récurrence (et merci pour l'astuce), mais du coup, je me retrouve coincé avec cette autre somme que je ne sais pas calculer (autrement que W|A...)!

    Si vous pouviez m'aiguillez plus loin, je vous en serais reconnaissant... =)

    @joel_5632 :

    Très intéressant également!

    Je sais que le nombre de parties vaut (ce qui correspond aussi à la somme de la ligne correspondante du triangle de Pascal ! ), donc on retrouve bien notre comme demandé !
    Mais le truc, c'est que je ne sais pas si on peut considérer ça comme un raisonnement par induction comme il m'a été demandé de le démontrer. Avec ce raisonnement (qui est très simple et astucieux!), on ne fait aucune hypothèse de récurrence (sauf grosse erreur de ma part), donc je pense qu'il faut plutôt procéder comme Jukse essaie de m'aider, mais votre raisonnement est excellent!


    Exponentielle :

    Merci alors Jukse, je le considérerai comme définition !

    Merci à vous deux de m'avoir répondu et j'espère que je pourrai trouver une solution au deuxième problème!

    Merci encore

    Cordialement

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : Probabilité - Récurrence

    Bonsoir.

    J'attends que vous m'indiquiez l'erreur parce que là, si c'est vraiment ça...
    En quoi ce résultat te choque-t-il ? Réfléchis bien aux répartitions les plus fréquentes ...

    Cordialement.

    NB : Pourquoi nous demander de corriger ? Tu n'as pas quelqu'un qui corrige ces devoirs ?

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  10. #7
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bonsoir.



    En quoi ce résultat te choque-t-il ? Réfléchis bien aux répartitions les plus fréquentes ...

    Cordialement.

    NB : Pourquoi nous demander de corriger ? Tu n'as pas quelqu'un qui corrige ces devoirs ?
    Ben je sais pas, ça me parait peu quand même faut dire que les chiffres sont tellement grands que je n'en ai aucune idée... mais si c'est ça x)

    Si, bien sûr, mais c'est noté alors je préfère avoir une bonne note

    Bonne soirée

    P.S. : Pour la récurrence, vous avez un conseil?

  11. #8
    gg0

    Re : Probabilité - Récurrence

    "les chiffres sont tellement grands ..."

    Là tu manques de sérieux ... tu as répondu avant d'avoir réfléchi, en appliquant une "règle élève" idiote : Si le résultat n'est pas très simple, il est faux.

    Si c'est noté, alors on va arrêter de te donner des solutions. C'est toi qui es noté, pas nous. Ou alors il va falloir nous attribuer tes notes que tu ne mérites plus !

    Bonne soirée.

  12. #9
    joel_5632

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    II. Avec la formule de multiplication dans le chapitre des probas conditionnelles, j'ai, pour X = " 5 personnes sont O ", Y = " 5 personnes sont A ", Z = " 5 personnes sont B ", et W = " 5 personnes sont AB ", que .

    Ensuite, on a donc la proba que 5 personnes exactement soient du groupe O, soit en faisant comme dans I.,

    Après sachant que 5 sont du groupe O, la proba que 5 personnes soient soient du groupe A parmis 15 personnes :

    Proba de 5 personnes du groupe B parmis 10 personnes :

    Et finalement 5 personnes AB parmis 5 personnes :
    .

    Et donc je multiplie le tout (et pas des moindre) :

    .

    J'attends que vous m'indiquiez l'erreur parce que là, si c'est vraiment ça...
    je pense que c'est faux effectivement

    pour le 1er terme:

    je suis d'accord

    ensuite, on sait que les 15 personnes qui restent ne sont pas du type "O"
    donc les probas d'avoir une personne de type A, B ou AB sont à recalculer

    ce qui donne pour le 2ème terme



    pour le 3ème terme, il faut de nouveau recalculer les proba

    et le dernier terme doit valoir 1

    C'est à confirmer, je ne suis pas sur à 100%

  13. #10
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    "les chiffres sont tellement grands ..."

    Là tu manques de sérieux ... tu as répondu avant d'avoir réfléchi, en appliquant une "règle élève" idiote : Si le résultat n'est pas très simple, il est faux.

    Si c'est noté, alors on va arrêter de te donner des solutions. C'est toi qui es noté, pas nous. Ou alors il va falloir nous attribuer tes notes que tu ne mérites plus !

    Bonne soirée.
    Ah parce que vous m'avez donné les résultats que j'ai trouvé en #5 ???

    D'accord, joel_5632 et Jukse m'ont bien aidé, mais n'allez pas dire qu'ils m'ont donné les résultats (vous n'avez qu'à regarder le temps de réflexion et de calcul entre les messages de conseil que j'ai vu instantanément et mon message de réponse (non, je n'ai pas passé 2 heures à glander mais bien à remplir mes 20 feuilles de brouillon que j'ai actuellement juste à côté de moi)).

    Je ne manque absoluement pas de sérieux (j'aime bien parfois plaisanté, mais ces calculs sont très sérieux) : c'est juste que nos profs font généralement en sorte que les résultats soient calculables à la main ou en tous cas ne dépassent pas les 10 décimales. Alors c'est sûr que quand je vois des résultats à 50 décimales finies, je m'étonne un peu de surcroît que mon raisonnement est long et calculatoire.

    Donc oui, oh que oui j'ai réfléchi avant de donner ces résultats, je me suis méfié, je n'ai pas dit qu'il était obligatoirement faux (comme votre "règle élève" ).

    Je suis d'ailleurs blessé que vous puissiez dire je ne mérite plus mes notes, vu l'investissement que je donne. Vous ne savez pas le nombre d'heures que je passe sur des problèmes pour arriver là où j'en suis aujourd'hui, donc je vous demanderais un peu plus de courtoisie, si vous le voulez bien.

    Et si maintenant, vous auriez bien l'obligeance de m'aider dans mon deuxième problème, je vous en serais reconnaissant.

    Cordialement.

  14. #11
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par joel_5632 Voir le message
    je pense que c'est faux effectivement

    pour le 1er terme:

    je suis d'accord

    ensuite, on sait que les 15 personnes qui restent ne sont pas du type "O"
    donc les probas d'avoir une personne de type A, B ou AB sont à recalculer

    ce qui donne pour le 2ème terme



    pour le 3ème terme, il faut de nouveau recalculer les proba

    et le dernier terme doit valoir 1

    C'est à confirmer, je ne suis pas sur à 100%
    Ah bah il semblerait que je ne me suis pas méfié pour rien... Hein!

    C'est ça dont je me doutais... Si on calcule pour le nombre de personnes qui restent, on doit évidemment diminuer le nombre de personnes totales mais aussi augmenter la proba que les personnes restantes soient d'un autre groupe sanguin que ceux qu'on a enlevé!

    Donc, si je suis votre raisonnement, la probabilité totale donne :

    .

    Mais ça me parait quand même bizarre car cela voudrait dire que si il y a 15 personnes de groupe A, B, et O, alors les 5 personnes restantes sont à 100% sûr des personnes AB.

    À revoir

    Cordialement

  15. #12
    joel_5632

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par The_Anonymous Voir le message
    Donc, si je suis votre raisonnement, la probabilité totale donne :

    .

    Mais ça me parait quand même bizarre car cela voudrait dire que si il y a 15 personnes de groupe A, B, et O, alors les 5 personnes restantes sont à 100% sûr des personnes AB.
    ça me parait juste

    les 5 premières sont O et les 15 autres ne sont pas pas O
    les 5 suivantes sont A et les 10 autres ne sont ni O ni A
    les 5 suivantes sont B et les 5 qui restent ne sont ni O ni A ni B donc elles sont AB à coup sur
    Dernière modification par joel_5632 ; 15/09/2013 à 21h43.

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  17. #13
    gg0

    Re : Probabilité - Récurrence

    Bon, ma vanne a marché !

    Cependant, ta réflexion n'a toujours aucun sens. Il est évident que la probabilité que tu cherches est faible simplement parce que sur 20 personnes il est rare que la moitié soient des groupes rares B et AB.
    Ce qui ne rend pas ton calcul juste pour autant, mais pas pour la raison qui te fait douter (et qui manque de réflexion).
    Le calcul corrigé de Joel_5632 est le bon, il correspond d'ailleurs à la loi multinomiale qui généralise la loi binomiale à k catégories au lieu de 2 (ici k=4). Tu pourras vérifier que



    Je jette un coup d'oeil à l'autre exercice ...

  18. #14
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Ah ok d'accord merci de votre correction

    Et vous êtes d'accord aussi pour le I. et le III. du problème 1 ?

    Et auriez-vous un conseil pour faire avancer mon deuxième problème?

  19. #15
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par gg0 Voir le message
    Bon, ma vanne a marché !

    Cependant, ta réflexion n'a toujours aucun sens. Il est évident que la probabilité que tu cherches est faible simplement parce que sur 20 personnes il est rare que la moitié soient des groupes rares B et AB.
    Ce qui ne rend pas ton calcul juste pour autant, mais pas pour la raison qui te fait douter (et qui manque de réflexion).
    Le calcul corrigé de Joel_5632 est le bon, il correspond d'ailleurs à la loi multinomiale qui généralise la loi binomiale à k catégories au lieu de 2 (ici k=4). Tu pourras vérifier que



    Je jette un coup d'oeil à l'autre exercice ...
    Faible entre 0.0000104 et 0.000000000004, allez trouver quel résultat est le bon -.-

    Et pour votre "vanne", je ne sais pas quoi en dire... Cela représente pour moi plus du mépris hargneux qu'une mauvaise blague...

    Je m'excuserais à votre place plutôt que de dire que votre blague a marché... J'ai trouvé ces paroles plus qu'incorrectes.

    Cordialement

  20. #16
    gg0

    Re : Probabilité - Récurrence

    La somme qui te pose problème est presque la même que celle de l'hypothèse de récurrence, sauf que le multiplicateur n'est pas le bon. Il te suffit de remplacer k par (k-1)+1 et faire un cahngement d'indice l=k-1 pour retomber presque sur l'hypothèse de récurrence (presque, attention aux indices initiaux et terminaux).

    Bon travail !

  21. #17
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Merci beaucoup, j'ai pu compléter mon exercice comme il se doit.

    Je vous remercie.

    Cordialement.

  22. #18
    Jukse

    Re : Probabilité - Récurrence

    Problème 2 : tu devrais t'en sortir en remarquant que 0 = -1 + 1. En effet

    Je n'ai pas encore regardé ce que tu as fait pour le premier problème mais j'y jetterai un œil.

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  24. #19
    Jukse

    Re : Probabilité - Récurrence

    Je n'avais pas vu la deuxième page sur cette discussion. Visiblement les autres t'on déjà bien aidé. Reste tout de même la troisième question : On prend cette fois 100 personnes dont la répartition correspond aussi à celle du tableau, et on nous demande une approximation de la probabilité qu'il y ait entre 38 et 50 personnes (38 et 50 compris) du groupe A.

    Ta réponse est correcte, mais j'ai le sentiment que l'énoncé attendait une approximation de la loi binomiale Bin(100 ; 0,47) par la loi normale et

  25. #20
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    M'fait, le truc, c'est qu'on a pas expliqué l'usage de cette loi normale dans mon cours

    Donc, c'est pas que je rejète votre raisonnement, mais disons je vois pas trop comment faire avec les notions qu'on a...

    Mais sinon, parce que cette approche m'intéresse, vu qu'on traite de 38 à 50, et que j'ai cru compendre que m ou mu était l'axe de symétrie de la courbe de Gauss, alors m ne vaut-il pas quelque chose comme (38+50)/2 = 44 ?

    Par contre, pour le sigma (au carré), je n'en ai aucune idée... J'ai regardé pas mal de courbe pour essayer de voir l'influence du sigma, mais j'ai rien trouvé, à part que le fait d'augmenter le sigma aplani la courbe. Comme nous n'avons pas officiellement vu les dérivées, on a suggéré que l'aire du "dessous" de la courbe faisait 1.

    En rapport à ça, je me demande du coup si le but est de faire une courbe de Gauss avec au début 0 personne et à la fin 100 personnes, et qu'on cherche l'aire en dessous de la courbe entre 38 et 50, ce qui donnerait sauf erreur si j'ai à peu près compris le principe , avec f(x) et dx dont je ne connais absoluement pas la signification donc la valeur x).

    Si vous pouviez m'expliquer comme ça pour mon instruction "bonus", ça serait sympa

    Cordialement

    Édit : Il semblerait que mu = E[X] et sigma^2 = Var(X), mais pour quelle variable X?
    Celle qui compte le nombre de personnes?
    Dernière modification par The_Anonymous ; 16/09/2013 à 19h02.

  26. #21
    gg0

    Re : Probabilité - Récurrence

    Bonsoir.

    Si tu approximes une loi binomiale par une loi Normale, il serait assez utile que la moyenne ne change pas. Et pendant qu'on y est aussi la variance. Il se trouve que pour le cas d'une loi binomiale ça marche bien !
    Mais le calcul direct devenant facile (tableurs ou calculs programmés), il devient peu utile d'approximer par la loi Normale.

    Cordialement.

    NB : Pour une loi Normale, il n'y a pas d'intervalle de valeur autre que R. Donc prendre 38-50 ou 0-100 n'est pas intéressant.

  27. #22
    Jukse

    Re : Probabilité - Récurrence

    @The_Anonymous : je ne détaille pas car tu verras ces choses-là plus tard dans tes cours. L'idée générale est que pour p fixé, plus n est grand plus la loi Bin(n ; p) est proche de la loi normale ayant la même espérance et la même variance.

    Dans l'exercice on avait et . L'espérance correspondante est et la variance est .

    (J'affirme qu')il y a un théorème très général qui justifie que et qui contrôle même l'erreur commise. Les propriétés de la loi normale montrent que cette dernière probabilité est égale à .

    Tu pourras repenser à cette discussion quand tu en connaîtras plus sur le sujet.

    À bientôt !

  28. #23
    The_Anonymous

    Re : Probabilité - Récurrence

    Citation Envoyé par Jukse Voir le message
    @The_Anonymous : je ne détaille pas car tu verras ces choses-là plus tard dans tes cours. L'idée générale est que pour p fixé, plus n est grand plus la loi Bin(n ; p) est proche de la loi normale ayant la même espérance et la même variance.

    Dans l'exercice on avait et . L'espérance correspondante est et la variance est .

    (J'affirme qu')il y a un théorème très général qui justifie que et qui contrôle même l'erreur commise. Les propriétés de la loi normale montrent que cette dernière probabilité est égale à .

    Tu pourras repenser à cette discussion quand tu en connaîtras plus sur le sujet.

    À bientôt !
    Ok d'accord!

    Merci pour cette réponse !

    Cordialement

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