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Un Calcul de Cos(pi/5)



  1. #1
    miniatio

    Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonjour j'ai un DM de Maths à faire et j'ai besoin d'aide, or la prof donne un DM avant de commencé le cours sur le chapitre. Voici l'énoncé:
    1. z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4.

    a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z)
    Pour ce la je fais:
    (1-z^5) / (1-z) = [(1-z5)(1+z)] / [(1-z)(1+z)]
    = (1+z-z5-z6)/(1-z²)
    Mais apres sa je n'arrive pas prouvé qu'il est égale à z' .

    b) En déduire la valeur de :
    1+ cos2pi/5 + cos4pi/5 + cos6pi/5 + cos8pi/5

    3.a) Montrer que cos2pi/5+ cos8pi/5 = 4cos²pi/5-2
    b) Montrer que cos4pi/5 + cos6pi/5 = -2cospi/5

    4. a) En déduire que cospi/5 est solution de l'équation: 4x²-2x-1=0

    b) Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de cospi/5.

    Piste du livre: question 3.A et b. Utiliser les mesures principales et les formules de duplication et des angles associés pour le Cosinus.

    -----


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  3. #2
    topmath

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonsoir à tous pour cette indication (*) , je ne sais si elle fait partie de votre programme d'études:
    (*) Pour montrez que pour on applique la Division Euclidienne de puit vous allez trouvez effectivement que ce quotient est égale à z'.

    Cordialement
    Dernière modification par topmath ; 24/11/2013 à 17h41.

  4. #3
    jamo

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonjour
    penser aux suites géométriques .

  5. #4
    miniatio

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Salut, Merci pr vos aides mais..
    le 1 j'ai reussi et pour le 2.a. j'arrive à :
    z' pour z=exp(2i*pi/5)

    = 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
    = 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4
    = 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5

    Mais après je ne sais pas quoi faire avec tous ces chiffres là .
    Dernière modification par miniatio ; 24/11/2013 à 18h31.

  6. #5
    jamo

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    il faut utiliser le résultat 1 + z + z² + z^3 + z^4=(1-z^5) / (1-z) avec z=e^2ipi/5 , multiplier par l'expression conjuguée .....

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    miniatio

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Citation Envoyé par jamo Voir le message
    il faut utiliser le résultat 1 + z + z² + z^3 + z^4=(1-z^5) / (1-z) avec z=e^2ipi/5 , multiplier par l'expression conjuguée .....
    Euhh.. C'est à dire?

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  10. #7
    topmath

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonjour si j'ai bien compris le message de
    Citation Envoyé par jamo Voir le message
    il faut utiliser le résultat 1 + z + z² + z^3 + z^4=(1-z^5) / (1-z) avec z=e^2ipi/5 , multiplier par l'expression conjuguée .....
    Faudra multiplier le dénominateur et le dénominateur du rapport suivant par le conjugué de c'est à dire .

    Cordialement

  11. #8
    gg0

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Attention, le conjugué de n'est pas .

  12. #9
    topmath

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonjour , vue le conseille de gg0 que je le remercie je vais utiliser une autre proposition en calculant pour voir ce que ça donne.

    Cordialement

  13. #10
    topmath

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonjour j'annule ma proposition du message 7 je n'est trouver que celle là (*) :
    (*) J'égalise car ou que l'on déterminera par un système.

    Cordialement

  14. #11
    topmath

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Re ici je rectifie seulement une petite chose (1-z) divise (1-z^5) et non "(1-z) divise (1-z^5)/(1-z) " comme je l'est écris au message précédemment merci .

    Cordialement

  15. #12
    PlaneteF

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Bonjour,

    Mais pourquoi vouloir passer par une quelconque quantité conjuguée ??

    On prend :

    Donc : ... et c'est fini !


    Cordialement
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/11/2013 à 11h03.

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  17. #13
    topmath

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Salut planeteF , j'imagine que miniatio a de le chance il a plusieurs variantes de solutions pour cette question ;

    Cordialement

  18. #14
    PlaneteF

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Salut topmath,

    Pour la question 1)b) qui demande d'utiliser le résultat de la question 1)a), je ne vois pas 15000 variantes ! ... et pas besoin de faire intervenir la notion de quantité conjuguée

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/11/2013 à 11h20.

  19. #15
    PlaneteF

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Disons que sur cette histoire de quantité conjuguée, je pense que l'ami jamo (que je salue au passage ) proposait en première intention de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur qui est la technique standard pour récupérer la partie imaginaire et/ou la partie réel du quotient, ... ma remarque était alors de noter qu'ici le numérateur 1-z5 a une valeur particulièrement particulière

    Cdt
    Dernière modification par PlaneteF ; 25/11/2013 à 11h43.

  20. #16
    jamo

    Re : Un Calcul de Cos(pi/5)

    Citation Envoyé par PlaneteF Voir le message
    Disons que sur cette histoire de quantité conjuguée, je pense que l'ami jamo (que je salue au passage ) proposait en première intention de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur qui est la technique standard pour récupérer la partie imaginaire et/ou la partie réel du quotient,
    Cdt
    Salut toi
    exactement mais je n'avais pas fait le calcul donc , u r right

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