Un Calcul de Cos(pi/5)

[miniatio]

Bonjour j'ai un DM de Maths à faire et j'ai besoin d'aide, or la prof donne un DM avant de commencé le cours sur le chapitre. Voici l'énoncé:
1. z est un nombre complexe et z' = 1 + z + z² + z^3 + z^4.

a) Vérifier que si z différent de 1 alors z' = (1-z^5) / (1-z)
Pour ce la je fais:
(1-z^5) / (1-z) = [(1-z5)(1+z)] / [(1-z)(1+z)]
= (1+z-z5-z6)/(1-z²)
Mais apres sa je n'arrive pas prouvé qu'il est égale à z' .

b) En déduire la valeur de :
1+ cos2pi/5 + cos4pi/5 + cos6pi/5 + cos8pi/5

3.a) Montrer que cos2pi/5+ cos8pi/5 = 4cos²pi/5-2
b) Montrer que cos4pi/5 + cos6pi/5 = -2cospi/5

4. a) En déduire que cospi/5 est solution de l'équation: 4x²-2x-1=0

b) Résoudre cette équation et donner la valeur exacte de cospi/5.

Piste du livre: question 3.A et b. Utiliser les mesures principales et les formules de duplication et des angles associés pour le Cosinus.
-----

[topmath]

Bonsoir à tous pour cette indication (*) , je ne sais si elle fait partie de votre programme d'études:
(*) Pour montrez que pour on applique la Division Euclidienne de puit vous allez trouvez effectivement que ce quotient est égale à z'.

Cordialement

[jamo]

Bonjour
penser aux suites géométriques .

[miniatio]

Salut, Merci pr vos aides mais..
le 1 j'ai reussi et pour le 2.a. j'arrive à :
z' pour z=exp(2i*pi/5)

= 1 + e^2ipi/5 + (e^2ipi/5)² + (e^2ipi/5)^3 + (e^2ipi/5)^4
= 1 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ² + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5)^3 + (cos 2pi/5 +i sin 2pi/5) ^4
= 1 + cos 2pi/5 + i sin 2pi/5 + cos 4pi/5 + i sin 4pi/5 + cos 6pi/5 + i sin 6pi/5 + cos 8pi/5 + i sin 8pi/5

Mais après je ne sais pas quoi faire avec tous ces chiffres là .

[A voir en vidéo sur Futura]

[jamo]

il faut utiliser le résultat 1 + z + z² + z^3 + z^4=(1-z^5) / (1-z) avec z=e^2ipi/5 , multiplier par l'expression conjuguée .....

[miniatio]

il faut utiliser le résultat 1 + z + z² + z^3 + z^4=(1-z^5) / (1-z) avec z=e^2ipi/5 , multiplier par l'expression conjuguée .....

Euhh.. C'est à dire?

[topmath]

Bonjour si j'ai bien compris le message de

il faut utiliser le résultat 1 + z + z² + z^3 + z^4=(1-z^5) / (1-z) avec z=e^2ipi/5 , multiplier par l'expression conjuguée .....

Faudra multiplier le dénominateur et le dénominateur du rapport suivant par le conjugué de c'est à dire .

Cordialement

[gg0]

Attention, le conjugué de n'est pas .

[topmath]

Bonjour , vue le conseille de gg0 que je le remercie je vais utiliser une autre proposition en calculant pour voir ce que ça donne.

Cordialement

[topmath]

Bonjour j'annule ma proposition du message 7 je n'est trouver que celle là (*) :
(*) J'égalise car ou que l'on déterminera par un système.

Cordialement

[topmath]

Re ici je rectifie seulement une petite chose (1-z) divise (1-z^5) et non "(1-z) divise (1-z^5)/(1-z) " comme je l'est écris au message précédemment merci .

Cordialement

[PlaneteF]

Bonjour,

Mais pourquoi vouloir passer par une quelconque quantité conjuguée ??

On prend :

Donc : ... et c'est fini !


Cordialement

[topmath]

Salut planeteF , j'imagine que miniatio a de le chance il a plusieurs variantes de solutions pour cette question ;

Cordialement

[PlaneteF]

Salut topmath,

Pour la question 1)b) qui demande d'utiliser le résultat de la question 1)a), je ne vois pas 15000 variantes ! ... et pas besoin de faire intervenir la notion de quantité conjuguée

Cdt

[PlaneteF]

Disons que sur cette histoire de quantité conjuguée, je pense que l'ami jamo (que je salue au passage ) proposait en première intention de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur qui est la technique standard pour récupérer la partie imaginaire et/ou la partie réel du quotient, ... ma remarque était alors de noter qu'ici le numérateur 1-z⁵ a une valeur particulièrement particulière

Cdt

[jamo]

Disons que sur cette histoire de quantité conjuguée, je pense que l'ami jamo (que je salue au passage ) proposait en première intention de multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée du dénominateur qui est la technique standard pour récupérer la partie imaginaire et/ou la partie réel du quotient,
Cdt

Salut toi
exactement mais je n'avais pas fait le calcul donc , u r right