Asymptotes

[invite4179d421]

Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour un exercice, merci d'avance!

Deux réels a et b sont donnés. On considère la fonction f définie sur R privé de b par : (ax²-9)/(x-b).
On note C sa courbe représentative.
1) Pour quelles valeurs du couple (a;b) la courbe C présente-t-elle une asymptote verticale?
2) Pour quelles valeurs du couple (a;b) la courbe C présente-t-elle une asymptote horizontale?

Voilà ce que j'ai fait pour l'instant:
1) Je sais que pour avoir une asymptote verticale d'équation x=v il faut que lim f(x)= + ou - infini quand x tend vers v. Mais ça marche pour beaucoup de nombres: dès qu'on prend b=v. Par exemple on prend v=2, lim f(x) = + ou - infini (selon si c'est la limite à gauche ou à droite de 2) quand x tend vers 2, même chose si on prend b=3 et x tend vers 3 on a lim f(x)= + ou - infini. Peut-on écrire comme solution: C présente une asymptote verticale dès que x tend vers b (pour n'importe quelle valeur de b)?
2) Pour avoir une asymptote horizontale d'équation y=l il faut que lim f(x) = l quand x tend vers + ou - infini. Je n'arrive pas à trouver des valeurs de ce couple pour que la limite de f(x) quand x tend vers + ou - infini soit un nombre réel.
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[PA5CAL]

Bonsoir

Dans ta fonction, il est aussi important de prendre en compte ce qui se passe au numérateur (ax²-9 dans le cas présent).

Je te suggère de reconsidérer tes réponses après avoir étudié les deux cas suivants :
- a=1 et b=3
- a=0

[invite4179d421]

Merci!
1) Si a=1 et b=3 alors f(x)=x+3 et donc lim f(x)= 6 quand x tend vers 3. Donc pas d'asymptote pour ce couple. Donc C présente une asymptote verticale dès que x tend vers b sauf pour le couple (1;3).
2) Si a=0 et pour n'importe quel b la limite de f(x) en + ou - infini sera 0. Donc une asymptote d'équation y=0.

[PA5CAL]

La conclusion est un peu hâtive.

Que dire par exemple du cas où a=9 et b=1 ?

Pourrais-tu dire à quelle condition (relation entre a et b) on tombe sur ce type de cas de figure ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4179d421]

Si a=9 et b=1 alors f(x)=9x+9 (définie sur R privé de 1) et donc lim f(x) = 18 quand x tend vers 1. Donc pas d'asymptote pour les couples (9;1) et (1;3). Je ne vois pas la relation entre a et b.

[PA5CAL]

En fait, il existe une infinité de couples (a;b) pour lesquels il n'existe pas d'asymptote verticale, et il s'agit de trouver comment exprimer a et b dans ces cas.

L'expression de f(x) se simplifie à une certaine condition, que tu devrais pouvoir trouver. C'est à partir de l'écriture de cette condition que tu trouveras la relation nécessaire entre a et b pour tomber dans ce cas de figure.

L'utilisation de l'identité remarquable suivante pourrait grandement t'aider :

u²–v² = (u+v)·(u–v)

[invite4179d421]

f(x)=(ax²-9)/(x-b)=((racine de a)x-3)((racine de a)x +3)/(x-b)=((racine de a)(x-3/(racine de a))((racine de a)x+3))/(x-b) donc il faut que b= 3/(racine de a) ou b= - 3/(racine de a) pour qu'il n'y ait pas d'asymptote

[PA5CAL]

C'est ça. (...quoique il aurait mieux valu écrire f(x)=...=a·(x+3/√a)·(x–3/√a)/(x–b) pour plus de clarté)

Il n'y a pas d'asymptote verticale lorsque b=3/√a ou b=–3/√a . Et il convient de préciser qu'on doit nécessairement avoir a>0.

[invite4179d421]

D'accord merci, on peut aussi l'écrire sous forme a=9/b² avec b différent de 0

[gg0]

C'est mieux, car a pouvant être négatif, parler de sa racine carrée est délicat !

Cordialement.

[invite4179d421]

Oui voilà c'est ce que je pensais

[fraise1996]

Bonsoir, je fais le même exercice et je vois que personne n'a répondu à la question 2 ci dessus, quelqu'un pourrait me donner un petit coup de pouce?
J'ai réussi à factoriser et à trouver la relation entre a et b et je sais que dans le cas d'une asymptote verticale, il faut que lim f(x) quand x tend vers + ou - l'infini tend vers L
Je sais qu'il y a beaucoup de cas où ça ne fonctionne pas et des cas où cela fonctionne, comment trouver la relation ? ou est-ce la même que dans la question 1 ?

[gg0]

Bonsoir

Puisque tu sais que c'est en relation avec la limite en + ou - l'infini, la première chose raisonnable à faire est de déterminer cette limite. Après suivant les cas, c'est simple ou pas. Ici c'est simple.

Bon travail !

[fraise1996]

Merci beaucoup j'ai réussi à prouver que la seule asymptote horizontale est lorsque a=0 en factorisant f(x) par x et en calculant les limites en + et - l'infini !
Bonne soirée !