Aide pour un DM. Géométrie dans l'espace (TS)

[inviteb1c4b53a]

Bonjour, j'ai un dm de maths pour la rentrée et j'ai quelques petits problèmes pour le second exercice.

ABCDEFGH est un cube. Pour tout point I de la droite (AB) et tout point J de la droite (CG), on note M le centre de gravité du triangle EIJ.
On souhaite déterminer le lieu décrit par le point M lorsque les points I et J décrivent respectivement les droites (AB) et (CG).
On se place dans le repère (B,BC,BF,BA).

(JE N'AI PAS FINI DE RECOPIER L'ENONCE, JE M'Y REMETS DANS QUELQUES HEURES. MERCI DE NE PAS SUPPRIMER LE POST
PANDO.)
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[ansset]

il faudrait préciser comment sont situés les points.
je suppose par exemple que ABCD est le carré du haut par exemple et EFGH celui du bas.
mais lesquels sont au dessus desquels ?

[inviteb1c4b53a]

Bonjour, j'ai un dm de maths pour la rentrée et j'ai quelques petits problèmes pour le second exercice.

ABCDEFGH est un cube. Pour tout point I de la droite (AB) et tout point J de la droite (CG), on note M le centre de gravité du triangle EIJ.
On souhaite déterminer le lieu décrit par le point M lorsque les points I et J décrivent respectivement les droites (AB) et (CG).
On se place dans le repère (B,BC,BF,BA).

La face du bas est BCGF.
A au dessus de B, D au dessus de C, H au dessus de G et E au dessus de F.

1. Déterminer les coordonnées du centre de gravité Mo du tirnagle EBC.
2. SOit un point I de la droite (AB) et un point J de la droite (CG).
a. Justifier qu'il existe deux réels t et u tels que vecteur(BI) = t x vecteur(BA) et vecteur(CJ)= u x vecteur(CG).
b. En déduire les coordonnées des points I, J et M en fonction de t et u.
c. Prouver que les vecteurs MoM , BF et BA sont coplanaires.
d. En déduire que le point M appartient à un plan P que l'on caracterisera.
3. Demontrer que pour tout point N du plan P, il existe un point I de la droite (AB) et un point J de la droite (CG) tels que N soit le centre de gravité du triangle EIJ.
4. Conclure.


(JE N'AI PAS FINI DE RECOPIER L'ENONCE, JE M'Y REMETS DANS QUELQUES HEURES. MERCI DE NE PAS SUPPRIMER LE POST
PANDO.)

[inviteb1c4b53a]

Bonjour, j'ai un dm de maths pour la rentrée et j'ai quelques petits problèmes pour le second exercice.

ABCDEFGH est un cube. Pour tout point I de la droite (AB) et tout point J de la droite (CG), on note M le centre de gravité du triangle EIJ.
On souhaite déterminer le lieu décrit par le point M lorsque les points I et J décrivent respectivement les droites (AB) et (CG).
On se place dans le repère (B,BC,BF,BA).

La face du bas est BCGF.
A au dessus de B, D au dessus de C, H au dessus de G et E au dessus de F.

1. Déterminer les coordonnées du centre de gravité Mo du tirnagle EBC.
2. SOit un point I de la droite (AB) et un point J de la droite (CG).
a. Justifier qu'il existe deux réels t et u tels que vecteur(BI) = t x vecteur(BA) et vecteur(CJ)= u x vecteur(CG).
b. En déduire les coordonnées des points I, J et M en fonction de t et u.
c. Prouver que les vecteurs MoM , BF et BA sont coplanaires.
d. En déduire que le point M appartient à un plan P que l'on caracterisera.
3. Demontrer que pour tout point N du plan P, il existe un point I de la droite (AB) et un point J de la droite (CG) tels que N soit le centre de gravité du triangle EIJ.
4. Conclure.

J'ai réussi à repondre aux questions jusqu'a la 3.d, mais ensuite je bloque.

1. A(0;0;1) B(0;0;0) C(1;0;0) D(1;0;1) E(0;1;1) F(0;1;0) G(1;1;0) H(1;1;1)
Mo est le centre de gravite du triangle, donc Mo (1/3;1/3;1/3).

2.a. BA(0;0;1)
I appartient à (AB), donc on en déduit que I(0;0;t x BA).
Donc BI(0;0;t x BA).
Donc BI = t x BA.

Même principe pour CJ = u x CG.

b.

(Je n'ai toujours pas fini. Merci de ne pas repondre tout de suite, ou je ne pourrais pas modifier le message directement, si on pouvait eviter de faire un post de 50 messages...
Pando.)

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb1c4b53a]

Bonjour, j'ai un dm de maths pour la rentrée et j'ai quelques petits problèmes pour le second exercice.

ABCDEFGH est un cube. Pour tout point I de la droite (AB) et tout point J de la droite (CG), on note M le centre de gravité du triangle EIJ.
On souhaite déterminer le lieu décrit par le point M lorsque les points I et J décrivent respectivement les droites (AB) et (CG).
On se place dans le repère (B,BC,BF,BA).

La face du bas est BCGF.
A au dessus de B, D au dessus de C, H au dessus de G et E au dessus de F.

1. Déterminer les coordonnées du centre de gravité Mo du tirnagle EBC.
2. SOit un point I de la droite (AB) et un point J de la droite (CG).
a. Justifier qu'il existe deux réels t et u tels que vecteur(BI) = t x vecteur(BA) et vecteur(CJ)= u x vecteur(CG).
b. En déduire les coordonnées des points I, J et M en fonction de t et u.
c. Prouver que les vecteurs MoM , BF et BA sont coplanaires.
d. En déduire que le point M appartient à un plan P que l'on caracterisera.
3. Demontrer que pour tout point N du plan P, il existe un point I de la droite (AB) et un point J de la droite (CG) tels que N soit le centre de gravité du triangle EIJ.
4. Conclure.

J'ai réussi à repondre aux questions jusqu'a la 3.d, mais ensuite je bloque.

1. A(0;0;1) B(0;0;0) C(1;0;0) D(1;0;1) E(0;1;1) F(0;1;0) G(1;1;0) H(1;1;1)
Mo est le centre de gravite du triangle, donc Mo (1/3;1/3;1/3).

2.a. BA(0;0;1)
I appartient à (AB), donc on en déduit que I(0;0;t x BA).
Donc BI(0;0;t x BA).
Donc BI = t x BA.

Même principe pour CJ = u x CG.

b. I(0;0;t) J(1;u;0)
M est le centre de gravité du triangle EIJ, donc M(1/3 ; (1+u)/3 ; (1+t)/3)

c. Le vecteur MoM a donc pour coordonnées : MoM (0 ; u/3 ; t/3)
BF (0;1;0) BA(0;0;1)
On cherche deux réels Y et Z tels que MoM = YxBF + Z x BA

0 = 0Y + 0Z
u/3 = Y
t/3 = Z

Il existe bien deux reels Y et Z. Les vecteurs sont donc colinéraires car MoM peut s'écrire comme une combinaison algébriques des deux autres.

Voilà, à partir de là je n'y arrive pas, en supposant que le reste soit juste.
Merci d'avance pour votre aide,
Pando.

PS. Désolée pour les messages multiples, mais apparemment on ne peut plus modifier un message plus de 5 minutes après sa publication, du coup forcement ça fait un sujet à rallonge... Si quelqu'un en a la possiblité, serait-il possible de supprimer mes précedents messages svp ? Histoire de ne pas embrouiller le sujet. Merci !

[ansset]

c. Prouver que les vecteurs MoM , BF et BA sont coplanaires.
d. En déduire que le point M appartient à un plan P que l'on caracterisera.


si MoM est coplanaire de BF et BA alors le segment MoM est // au plan défini par BF et BA, donc appartient à un plan // qu'il est facile de calculer car on connait la position de Mo.

[inviteb1c4b53a]

Oulà, j'arrive a quelque chose... je n'ai pas bien confiance en mon resultat !

MoM appartient à un plan P // (BAF). Les deux plans ont donc le même couple de vecteurs directeurs.
On prend le point Mo comme base du plan.

Soit les points A' et F' tels que MoA' = BA et MoF' = BF.

•BF(0;1;0), on en déduit que MoF' (0;1;0).
De plus, Mo(1/3 ; 1/3 ; 1/3), donc : F'(1/3 ; 4/3 ; 1/3).

•BA(0;0;1), on en deduit que MoA'(0;0;1).
Donc : A'(1/3 ; 1/3 ; 4/3).

Le point M appartient donc au plan P, de vecteurs directeurs MoF' et MoA'.

C'est bon ... ?

[ansset]

oui, et non.
tu dis : Les deux plans ont donc le même couple de vecteurs directeurs.
donc de redonner deux vecteurs directeurs ne suffit pas
le plan passe par Mo: il faut le préciser
pour bien finir tu peut ecrire l'équation du plan, sous une forme ou une autre.

[inviteb1c4b53a]

Merci !

Par contre, pour la question 3, je rame aussi... (désolée d'insister) J'ai bien l'impression qu'il faut faire un peu comme dans la 2.b puisque N est le centre de gravité du triangle EIJ, mais je ne vois mas du tout comment arriver à le prouver....

[ansset]

je pense qu'il faut partir des points du plans P
la manière la plus simple est
coord de Mo +a(BF)+b(BA) soit
(1/3,1/3+a,1/3+b)
et en reprenant les coord des points
I(0,0,i)
J(1,j,0)
E(0,1,1)
on doit pouvoir trouver un i en fonction du a et un j en fonction du b !

[inviteb1c4b53a]

Merci beaucoup pour ton aide !!