derterminer équation d'une courbe par des tangentes

[mariejeannegt]

Bonjour à tous,

Voilà j'ai raté un cours et pendant ce cours un exercice à été corriger, il me manque la correction. J'ai tenté de faire cet exercice mais je ne suis pas sur de la méthode et des coefficients directeurs que j'ai trouvé.

mon énoncé :
soit f définie par f(x)=ax^3+bx²+cx+d
déterminer a,b,c et d sachant que Cf passe par A(1;2) et B(-1;0) et admet en ces points une tangente horizontale.

Mon développement :

j'ai cherché y=f(x) :
point A: f(1)=2
point B: f(-1)=0

pour les coef dir :
point A: f'(1)=(yb-ya)/(xb-xa)=(0-2)/(-1-1)=1
point B: f'(-1)=(ya-yb)/(xa-xb)=(2-0)/(1-(-1))=1

ensuite j'ai fait un système avec f(x) et f'(x)=3ax²+2bx+c
point A:
a.1^3+b1²+c1+d=2 (1)
3a1²+2b1+c=1 (2)
point B:
a(-1)^3+b(-1)²+c(-1)+d=0 (3)
3a(-1)²+2b(-1)+c=1

(1) d=2
(2) c=1

j'ai ensuite remplacé:
(3) -1a+1b-1+2=0
(4) 3a-2b+1=1

je trouve ensuite b en fonction de a dans la (3):
b=(1a+1-2)/1

puis dans l'équation (4) j'intègre b :
3a-2((1a+1-2)/1)+1=1
3a-2a-2+4+1=1
a=-2

je trouve b en remplaçant a :
b=-2+1-2=-3

je propose comme solution :
f(x)=-2x^3-3x²+x+2

Est ce que quelqu'un pourrais confirmer cette solution ou me dire quelle est la méthode à suivre et je voudrais savoir si il existe une façon de vérifier la solution.
Merci d'avance et d'avoir pris le temps de lire mon post
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[PlaneteF]

Bonjour,

pour les coef dir :
point A: f'(1)=(yb-ya)/(xb-xa)=(0-2)/(-1-1)=1
point B: f'(-1)=(ya-yb)/(xa-xb)=(2-0)/(1-(-1))=1

Cà c'est totalement faux.

(...) et je voudrais savoir si il existe une façon de vérifier la solution.

Ben oui, toute fonction trouvée doit vérifier :

, , et

(c'est tout simplement la traduction des hypothèses de l'énoncé).

--> Donc ce que tu trouves est faux.

Utilise ces 4 égalités, ... cela te donnera un système de 4 équations à 4 inconnues (, , , et ), système facile à résoudre.


Cordialement

[mariejeannegt]

super merci pour aide j'ai trouvé avec f'(xa)=0 et f(xa)=ya idem pour le point b.

[mariejeannegt]

je me suis aperçu que ma vérification était bonne avec une erreur de développement donc ma vérification est fausse et je n'arrive pas à comprendre ou est mon erreur, sans doute dans ma méthode de résolution du système.

je développe comme ce suit :

point A:
f'(xa)=0 3a+2b+c=0 (2) donne c=0
f(xa)=ya a+b+c+d=2 (1) donne d=2

point B:
f'(xb)=0 3a-2b+c=0 (3)
f(xb)=yb -a+b-c+d=0 (4)

système:

je remplace c et d dans (3) et (4):

(3) -a+b+2=0
(4) 3a-2b=0

(3) b=-2+a
(4) 3a-2(-2+a)=0
a=-4
(3)b=-2-4=-6

lorsque je vérifie mon système le point B est ok mais le point A ne tombe pas juste

[A voir en vidéo sur Futura]

[PlaneteF]

point A:
f'(xa)=0 3a+2b+c=0 (2) donne c=0
f(xa)=ya a+b+c+d=2 (1) donne d=2

... Et par quelle magie cela te donnerait et ??

[mariejeannegt]

ben j'ai trouvé cette méthode sur un forum et je pensais l'avoir adaptée à mon problème mais du coup...

comment je pourrais faire pour trouver c et d au début du système?

[mariejeannegt]

à part c et d

est ce que le système est correct?

point A:
a+b+c+d=2
3a+2b+c=0

point B:
-a+b-c+d=0
3a-2b+c=0

[gg0]

C'est correct !

Ne reste plus qu'à résoudre ce système de 4 équations à 4 inconnues.

Cordialement.

[mariejeannegt]

merci pour votre réponse

pourriez-vous m'expliquer la méthode? car je n'ai pas de cours la dessus merci

[gg0]

Il y a de nombreuses méthodes. En voici deux générales, et une particulière mais qui simplifie la résolution dans ton cas :
* Par substitution : On calcule une incommue en fonction des autres dans une équation, on la remplace dans toutes les autres, puis on résout le système formé de ces "autres équations".
* Par combinaison linéaire : le système
A=0
B=0
est équivalent au système
A=0
k A+ l B= 0
où k est l sont des constantes, l étant non nul.
* Le système
A=0
B=0
est équivalent au système
A+B=0
A-B= 0

La troisième méthode appliquée aux couples d'équations qui "se ressemblent" permet de trouver très vite la solution.

Bon travail !

[mariejeannegt]

Merci d'avoir pris le temps de me répondre et pour vos explications

je ne suis pas sûr mais je pense avoir trouvé d ?

développement:

(a+b+c+d-2)+(-a+b-c+d)=0
2b+2d-2=0
b=-d+1

(3a+2b+c)-(3a-2b+c)=0
4b=0

4b=0
-4d+4=0

2b+2d-2=0
2(-4d+4)+2d-2=0
8d+8+2d-2=0
-6d+6=0
d=1


est ce la bonne méthode et la bonne réponse?
Merci

[ansset]

tu as déjà
-4d+4=0 en cours de route.,
pourquoi tout ce développement pour trouver d=1

[gg0]

Désolé,

je n'ai pas tout compris. Et n'importe comment, tu ne donnes pas de réponse (a= ..,b=...,c=..,d=...).
Pour ma part, je préfère toujours traiter le système entier :

a+b+c+d=2
-a+b-c+d=0
3a+2b+c=0
3a-2b+c=0

équivaut (méthode 3) à

2b+2d = 2
2a+2c=2
6a+2c=0
4b=0

qui se simplifie en

b+d=1
....

A toi de faire

[mariejeannegt]

merci pour votre réponse

je n'avais pas remarqué, depuis 13h je suis sur cet exercice
j'ai développé la suite du système en vérifiant :

f(1)=2
f(-1)=0
f'(1)=0
f'(-1)=0

et tout concorde je trouve a=-1/2 b=0 c=3/2 d=1


Je remercie beaucoup d'avoir pris sur votre temps pour me répondre )))))

[mariejeannegt]

j'ai fait de la manière suivante :

(a+b+c+d-2)-(-a+b-c+d)=0
2a+2c-2=0

(3a+2b+c)+(3a-2b+c)=0
6a+2c=0
2c=-6a

2a-6a-2=0
-4a=2
a=-1/2

6(-1/2)+2c=0
-3+2c=0
2c=3
c=3/2

je déduit b de 4b=0