Pénalité de retard --> problème complexe

[invite8dbc6a6a]

Bonsoir,j'ai commencé à réfléchir sur un problème complexe
Il est vraiment difficile ;voici 'énoncé:
Une entreprise a commandé une machine de 10 000 € auprès de l'un de ses fournisseurs.En cas de livraison de retard,des pénalités ont été fixées,le premier jour de retard est facturé 100 €,le 2 jour 150€,le 3 e jour est facturé à 200 €;et ainsi de suite,chaque jour supplémentaire de retard est facturé 50 € de plus que la journée précédente.
1.Au bout de combien de temps le fournisseur offre t-il la machine?
Avant de me lancer dans des formules et tout,j'ai décidé de décortiquer l'énoncé,je me rends compte que j'ai du mal à tout comprendre
Ce que j'ai compris:
1er jour:-100 € soit 9900 € ici on fait 10 000 -100
2e jour: -150 € soit 9950 € on fait 10 000 -100+50
3e jour:-200 € soit 9800 € on fait 10 000-200
Je pensais qu'à chaque fois (chaque jour de retard)on perdait 50 € mais en fait c'est faux puisque du jour 2 au jour 3 en faisant 10 000-150-20 je trouve 9800 ,c'est faux

Merci d'avance à ceux qui m'aideront
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[PlaneteF]

Bonsoir,

Tu peux définir la suite suivante : pénalité à payer par le fournisseur le -ième jour.

A partir de là, pose toi les 2 questions suivantes :

1) Quelle est la nature de la suite ?

2) Comment traduire ce que demande l'énoncé en utilisant cette suite ?


Cordialement

[invite83569f81]

Je pensais qu'à chaque fois (chaque jour de retard)on perdait 50 € mais en fait c'est faux puisque du jour 2 au jour 3 en faisant 10 000-150-20 je trouve 9800 ,c'est faux

Merci d'avance à ceux qui m'aideront

Attention, chaque jour de retard n'est pas facturé 50 euros ! Il est facturé 50 euros de plus que la journée précédente comme c'est indiqué dans l'énoncé.

Donc quand tu dis que le premier jour c'est -100€ c'est ok. Par contre le deuxième jour de retard il coûte 150€ donc c'est 10 000 - 100 - 150.
Et au troisième jour, cette fois si il coûte 200€, donc on a 10 000 - 100 - 150 - 200 !

En fait, je te conseille de raisonner de la manière suivante, additionne les sommes payées chaque jours de retard, et voit au bout de combien de jours on atteint les 10 000 € que coûte la machine. Et comme l'a dit PlanèteF, tu reconnais ici un type de suite que tu as certainement vu en cours.

On obtient : 100+150+200+250+300+350+... etc, chaque jour on paye 50€ de plus que la veille. Y a plus qu'à trouver au bout de combien de jours cette somme vaut 10 000 !

Pour cela, tu peux utiliser ta calculatrice si tu as appris à l'utiliser pour les suites. Tu peux même créer un petit programme (si tu as vu en classe comment le faire évidemment). Mais ce qui est sûr, c'est que tu ne peux pas utiliser la formule de la somme des termes d'une telle suite car tu auras deux inconnues ...

[PlaneteF]

Mais ce qui est sûr, c'est que tu ne peux pas utiliser la formule de la somme des termes d'une telle suite car tu auras deux inconnues ...

Bonsoir Lepton,

Si, tu peux bel et bien utiliser la formule de la somme des premiers termes de cette suite, la seule inconnue étant , tout le reste est connu (le 1er terme est évidemment connu, et le terme général est donné par une autre formule avec comme seule inconnue).

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite83569f81]

Bonsoir Lepton,

Si, tu peux bel et bien utiliser la formule de la somme des premiers termes , la seule inconnue étant , tout le reste est connu (le 1er terme est évidemment connu, et le terme général est donné par une autre formule avec comme seule inconnue).

Cdt

Oups oui en effet, je me disais qu'il nous manquait le dernier terme de la somme comme donnée mais il suffit de l'exprimer en fonction du premier et de n !

Donc oui, ce problème se résout grâce à la formule donnant la somme des n premiers termes consécutifs de la suite.

[invite8dbc6a6a]

Bonsoir,j'ai réfléchi au problème mais je ne suis pas du tout sûre de moi
j'ai essayé d'écrire la la suite je pense qu'elle est arithmétique ,mais je n'arrive pas à la rentrer dans ma calculatrice j'avais mis 100 +50 n mais je ne pouvais pas aller très loin
J'ai donc calculé 100+150..1000 ce qui m'a donné 10 450 ,donc je pense que au bout de 19 jours le fournisseur offre la machine
J'ai trouvé cette méthode assez difficile c'est pour cela que j'aimerai savoir comment mettre la suite dans la calculatrice

[jiherve]

Bonsoir,
en fait cela se ramène à un facteur et une constante près à la somme des n premiers entiers dont la solution est archi connue et la démonstration facile!
JR

[PlaneteF]

J'ai trouvé cette méthode assez difficile c'est pour cela que j'aimerai savoir comment mettre la suite dans la calculatrice

Eteins ta calculatrice, pas besoin d'elle pour trouver la solution algébrique.

Que vaut le terme en fonction de ?

Que vaut la somme des premiers termes de cette suite en fonction de ?

Comment traduire à l'aide de cette somme ce que te demande l'énoncé ?

Conclusion.

Cdt

[invite5756bcb3]

Ne calcule pas. Pose le problème en math d'abord. On ne le répètera jamais assez ! Petit à petit. Bout par bout...
Ne traite pas tout en même temps en cherchant la solution au plus vite.

Donc pour bien commencer, on analyse et on pose l'énoncé.

Tarif= 10.000

Pénalité jour 1 = 100
Pénalité jour 2 = 150
Pénalité jour 3 = 200

Donc on peut écrire

P1 = 100
P2 = P1 + 50
P3 = P2 + 50

Tu vois, je ne cherche pas à écrire tout de suite un prix payé en voulant arriver à un prix nul en tatonnant

C'est sûr, je peux écrire que le Tarif le jour 1 est le tarif initial moins la pénalité du jour 1 : T1 = T0 - P1...
Mais ce n'est pas nécessaire pour l'instant

Je vois donc que les pénalités forment une suite arithmétique de raison 50

Pn = P1 + (n-1)r = 100 + (n-1)50

Revenons au problème. Quand la machine sera-t-elle offerte ? donc quand est-ce que la pénalité sera égale (ou supérieure) au tarif ?

Attention, si on analyse bien l'énoncé, on lit
le premier jour de retard est facturé 100 €,le 2 jour 150€,le 3 e jour est facturé à 200 €
Il n'est pas dit que s'il y a un jour de retard, la pénalité sera de 100 €, s'il y a deux jours de retard, la pénalité sera de 150 €...
Mais que CHAQUE JOUR, une pénalité est FACTUREE. et que chaque jour, elle est de plus augmentée

Donc, si on comprend bien, le premier jour, il est facturé une pénalité de 100 €. Le 2ème jour, la pénalité facturé est de 150 €. Donc au total, au deuxième jour, il est facturé 100 + 150 € !!!

Le montant total de la pénalité finalement facturée est donc la SOMME de chaque pénalité quotidienne.

Il faut donc trouver la formule donnant la somme des n termes d'une suite, ce qui constitue la pénalité totale au jour n
A ne pas confondre donc, avec la formule qui donne la valeur du terme de rang n (on veut U1 + U2 + U3+ ... +Un et pas simplement Un)

Il faut ensuite trouver le n en question (le jour) tel que

somme des termes au rang n >= Tarif

Bon courage. Détaille bien ce que tu fais et comment tu commences au lieu de donner des résultats directement.

[invite5756bcb3]

dont la solution est archi connue

... d'absolument tous ceux qui la connaissent, à l'exclusion des autres...

[invite8dbc6a6a]

Merci de m'avoir expliqué tout ça Mais je ne comprends pas pourquoi ici Pn = P1 + (n-1)r = 100 + (n-1)50,ce que représente le -1 ,comment le trouve-t-on ?
Ensuite je pensais faire U1+U2...Un>= 10 000 donc j'aurai peut -être trouvé quelque chose: 100+50n >=10 000

[invite5756bcb3]

Quand on démarre une suite du rang 0, la formule pour trouver Un en fonction de n est bien Un = U0 + nr

par exemple si on dit que U0 est le premier, le second est U1 = U0 + r donc U1 = U0 + 1xr
le troisième est U2 = U0 + 2xr
on voit bien que la formule générale est Un = U0 + nxr

La formule est plus simple, mais il ne faut pas se tromper dans le n : le dixième terme est U9 et pas U10

Mais si, par commodité (c'est comme on veut), on dit que le premier est U1, le second est donc U2 = U1 + r
le troisième U3 = U1 + 2r...
Donc en général, le nième, qui est cette fois ci Un, se calcule par Un = U1 + (n-1)r, forcément

Ensuite, quand tu écris 100+50n >=10 000 , tu écris bien U1 + rn >= 10.000

Donc tu vois bien que ç'est la formule qui donne Un >= 10.000

c'est donc le nième terme (donc la ristourne du nième jour), et pas la somme des ristournes de chaque jour qui s'écrit, elle,
U1+U2...Un>= 10 000

Il y a une formule qui donne la somme des termes d'une suite. T'en rappelles-tu ? j'en ai parlé dans un autre post : somme des termes de U1 à Un = n(U1+Un)/2

[invite8dbc6a6a]

Oui je m'en rappelle,maintenant ça me revient
alors les données on fait n(100+n)/2>10 000

[PlaneteF]

alors les données on fait n(100+n)/2>10 000

Non, c'est faux là où j'ai mis en rouge ( ne vaut pas ).

Par ailleurs l'inégalité est au sens large.

Cdt

[invite5756bcb3]

Presque. Sauf qu'ici, Un ne vaut pas n. Un est U1 + (n-1)r donc 100+(n-1)50

Ce qui fait que la somme qui est n(U1 + Un)/2
donne n(100 + 100+(n-1)50)/2

Il faut alors trouver n tel que n(100 + 100+(n-1)50)/2 >= 10000

Trouver le n qui convient n'est donc pas des plus simple.
On peut coller ça dans une calculatrice et itérer jusqu'à se qu'on trouve, ou calculer (ça dépend de ce qui est demandé...)

en calculant, ça donne :

n(200+50n-50)/2 >= 10000
= n(150+50n)/2 >= 10000
= (150n + 50n^2)/2 >= 10000
= 150n + 50n^2 >= 20000
soit
50n^2 + 150n - 20000 >=0

Belle équation du 2nd degré, qu'il faut résoudre.

on doit trouver que c'est au 19ème jour de retard que plus rien n'est payé

Le problème n'est pas des plus simples. Il faut bien tout maitriser.

[jiherve]

Bonsoir,
la somme d'une progression arithmétique de raison 1 c'est n*(n+1)/2 ici la raison est 50 et le biais 100 donc s = 100+50*n(n+1)/2 et l'on cherche s >= 10000 donc il faut résoudre : 0 >= 50*n(n+1)/2-9900 soit 25n² +25n -9900 >= 0 <=> n² + n - 396 >= 0 ,le résultat entier c'est 20 ,si je ne suis pas gouré.

Voila.
JR

[invite8dbc6a6a]

Bonsoir
merci de votre aide
j'ai résolu l'équation et j'ai trouvé environ 18.6.Donc au bout du 19 ème jour,le fournisseur offre la machine !
Voici la 2ème question:
En réalité,la fabrication pour le fournisseur n'est rentabilisée que si les pénalités ne dépassent pas 2500 €
quel est le nombre de jours maximum de retard de livraison pour que le fournisseur rentre dans ses frais?
J'ai essayé de faire:
avec la somme des termes==>
n(200-50+50n)/2<=2500
150n+50n²-5000<=0
J'ai trouvé une solution envisageable 8.6
Mais je ne suis pas du tout sûre de mon raisonnement

[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai trouvé une solution envisageable 8.6

La solution demandée par l'énoncé doit être un nombre de jours entier.

Cdt

[invite5756bcb3]

c'est ça. le raisonnement est exact. Le total des pénalités ne doit pas dépasser 2500. On a vu que le total des pénalités est la somme des pénalités de chaque jour, donc effectivement la somme des termes de la suite.

solution exact 8,61.. donc 8 jour maxi pour être < à 2500 € de pénalité

[invite8dbc6a6a]

Daccore merci jai compris